Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48319 / 50883
↖ ↑ ↗
← S 70.026217°
E 85.424194°		 ← 208.66 m → S 70.026217°
E 85.429688°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
S 70.028093°
E 85.424194°		 ← 208.64 m →
43 535 m²		 S 70.028093°
E 85.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737297058105469 y=0.776420593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737297058105469 × 216)
    floor (0.737297058105469 × 65536)
    floor (48319.5)     		tx = 48319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776420593261719 × 216)
    floor (0.776420593261719 × 65536)
    floor (50883.5)     		ty = 50883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48319 / 50883 ti = "16/48319/50883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48319/50883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48319 ÷ 216
    48319 ÷ 65536     		x = 0.737289428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50883 ÷ 216
    50883 ÷ 65536     		y = 0.776412963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737289428710938 × 2 - 1) × π
    0.474578857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.49093345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776412963867188 × 2 - 1) × π
    -0.552825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73675387323463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49093345} λ = 1.49093345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73675387323463))-π/2
    2×atan(0.176091087847728)-π/2
    2×0.174304136153428-π/2
    0.348608272306856-1.57079632675     		φ = -1.22218805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49093345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.424194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22218805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.026217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48319 KachelY 50883 1.49093345 -1.22218805 85.424194 -70.026217
    Oben rechts KachelX + 1 48320 KachelY 50883 1.49102933 -1.22218805 85.429688 -70.026217
    Unten links KachelX 48319 KachelY + 1 50884 1.49093345 -1.22222080 85.424194 -70.028093
    Unten rechts KachelX + 1 48320 KachelY + 1 50884 1.49102933 -1.22222080 85.429688 -70.028093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22218805--1.22222080) × R
    3.27500000001368e-05 × 6371000     		dl = 208.650250000872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22218805--1.22222080) × R
    3.27500000001368e-05 × 6371000     		dr = 208.650250000872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49093345-1.49102933) × cos(-1.22218805) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341590128996563 × 6371000     		do = 208.660835850804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49093345-1.49102933) × cos(-1.22222080) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341559348757916 × 6371000     		du = 208.642033696472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22218805)-sin(-1.22222080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341590128996563-0.341559348757916)×R²
    abs(1.49102933-1.49093345)×3.07802386468881e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07802386468881e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07802386468881e-05×40589641000000     		ar = 43535.17403244m²