Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48317 / 81794
↖ ↑ ↗
← S 40.718119°
W 47.293396°		 ← 231.44 m → S 40.718119°
W 47.290650°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
S 40.720201°
W 47.293396°		 ← 231.44 m →
53 568 m²		 S 40.720201°
W 47.290650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368633270263672 y=0.624042510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368633270263672 × 217)
    floor (0.368633270263672 × 131072)
    floor (48317.5)     		tx = 48317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624042510986328 × 217)
    floor (0.624042510986328 × 131072)
    floor (81794.5)     		ty = 81794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48317 / 81794 ti = "17/48317/81794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48317/81794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48317 ÷ 217
    48317 ÷ 131072     		x = 0.368629455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81794 ÷ 217
    81794 ÷ 131072     		y = 0.624038696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368629455566406 × 2 - 1) × π
    -0.262741088867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.82542547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624038696289062 × 2 - 1) × π
    -0.248077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.779358114022873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82542547} λ = -0.82542547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779358114022873))-π/2
    2×atan(0.458700350151594)-π/2
    2×0.430065539207485-π/2
    0.860131078414971-1.57079632675     		φ = -0.71066525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82542547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.293396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71066525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.718119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48317 KachelY 81794 -0.82542547 -0.71066525 -47.293396 -40.718119
    Oben rechts KachelX + 1 48318 KachelY 81794 -0.82537754 -0.71066525 -47.290650 -40.718119
    Unten links KachelX 48317 KachelY + 1 81795 -0.82542547 -0.71070158 -47.293396 -40.720201
    Unten rechts KachelX + 1 48318 KachelY + 1 81795 -0.82537754 -0.71070158 -47.290650 -40.720201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71066525--0.71070158) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dl = 231.458430000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71066525--0.71070158) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dr = 231.458430000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82542547--0.82537754) × cos(-0.71066525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757928075796935 × 6371000     		do = 231.442455819488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82542547--0.82537754) × cos(-0.71070158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757904375852604 × 6371000     		du = 231.435218756376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71066525)-sin(-0.71070158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757928075796935-0.757904375852604)×R²
    abs(-0.82537754--0.82542547)×2.36999443310459e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36999443310459e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36999443310459e-05×40589641000000     		ar = 53568.469925558m²