Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48315 / 60219
↖ ↑ ↗
← N 14.447979°
W 47.298889°		 ← 295.77 m → N 14.447979°
W 47.296142°		 →
↑
295.74 m
↓
↑
295.74 m
↓
N 14.445320°
W 47.298889°		 ← 295.77 m →
87 471 m²		 N 14.445320°
W 47.296142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368618011474609 y=0.459438323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368618011474609 × 217)
    floor (0.368618011474609 × 131072)
    floor (48315.5)     		tx = 48315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459438323974609 × 217)
    floor (0.459438323974609 × 131072)
    floor (60219.5)     		ty = 60219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48315 / 60219 ti = "17/48315/60219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48315/60219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48315 ÷ 217
    48315 ÷ 131072     		x = 0.368614196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60219 ÷ 217
    60219 ÷ 131072     		y = 0.459434509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368614196777344 × 2 - 1) × π
    -0.262771606445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.82552135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459434509277344 × 2 - 1) × π
    0.0811309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.254880495279839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82552135} λ = -0.82552135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254880495279839))-π/2
    2×atan(1.29030741383243)-π/2
    2×0.91148056716408-π/2
    1.82296113432816-1.57079632675     		φ = 0.25216481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82552135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.298889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25216481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.447979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48315 KachelY 60219 -0.82552135 0.25216481 -47.298889 14.447979
    Oben rechts KachelX + 1 48316 KachelY 60219 -0.82547341 0.25216481 -47.296142 14.447979
    Unten links KachelX 48315 KachelY + 1 60220 -0.82552135 0.25211839 -47.298889 14.445320
    Unten rechts KachelX + 1 48316 KachelY + 1 60220 -0.82547341 0.25211839 -47.296142 14.445320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25216481-0.25211839) × R
    4.64199999999915e-05 × 6371000     		dl = 295.741819999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25216481-0.25211839) × R
    4.64199999999915e-05 × 6371000     		dr = 295.741819999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82552135--0.82547341) × cos(0.25216481) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.968374569208105 × 6371000     		do = 295.766519398058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82552135--0.82547341) × cos(0.25211839) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.968386149996043 × 6371000     		du = 295.770056468783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25216481)-sin(0.25211839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968374569208105-0.968386149996043)×R²
    abs(-0.82547341--0.82552135)×1.15807879377261e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.15807879377261e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.15807879377261e-05×40589641000000     		ar = 87471.0517873617m²