Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4831 / 3685
↖ ↑ ↗
← N 17.769612°
E 32.299805°		 ← 4 653.37 m → N 17.769612°
E 32.343750°		 →
↑
4 653.89 m
↓
↑
4 653.89 m
↓
N 17.727759°
E 32.299805°		 ← 4 654.45 m →
21 658 775 m²		 N 17.727759°
E 32.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58978271484375 y=0.44989013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58978271484375 × 213)
    floor (0.58978271484375 × 8192)
    floor (4831.5)     		tx = 4831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44989013671875 × 213)
    floor (0.44989013671875 × 8192)
    floor (3685.5)     		ty = 3685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4831 / 3685 ti = "13/4831/3685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4831/3685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4831 ÷ 213
    4831 ÷ 8192     		x = 0.5897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3685 ÷ 213
    3685 ÷ 8192     		y = 0.4498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5897216796875 × 2 - 1) × π
    0.179443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56373794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4498291015625 × 2 - 1) × π
    0.100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.315233051901489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56373794} λ = 0.56373794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315233051901489))-π/2
    2×atan(1.37057868970942)-π/2
    2×0.940467283650832-π/2
    1.88093456730166-1.57079632675     		φ = 0.31013824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56373794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31013824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.769612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4831 KachelY 3685 0.56373794 0.31013824 32.299805 17.769612
    Oben rechts KachelX + 1 4832 KachelY 3685 0.56450493 0.31013824 32.343750 17.769612
    Unten links KachelX 4831 KachelY + 1 3686 0.56373794 0.30940776 32.299805 17.727759
    Unten rechts KachelX + 1 4832 KachelY + 1 3686 0.56450493 0.30940776 32.343750 17.727759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31013824-0.30940776) × R
    0.000730480000000033 × 6371000     		dl = 4653.88808000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31013824-0.30940776) × R
    0.000730480000000033 × 6371000     		dr = 4653.88808000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56373794-0.56450493) × cos(0.31013824) × R
    0.000766990000000023 × 0.952291389480257 × 6371000     		do = 4653.36548482019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56373794-0.56450493) × cos(0.30940776) × R
    0.000766990000000023 × 0.952514070787353 × 6371000     		du = 4654.45361553312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31013824)-sin(0.30940776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952291389480257-0.952514070787353)×R²
    abs(0.56450493-0.56373794)×0.000222681307096129×R²
    0.000766990000000023×0.000222681307096129×6371000²
    0.000766990000000023×0.000222681307096129×40589641000000     		ar = 21658775.1440622m²