Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48302 / 50871
↖ ↑ ↗
← S 70.003688°
E 85.330811°		 ← 208.86 m → S 70.003688°
E 85.336304°		 →
↑
208.84 m
↓
↑
208.84 m
↓
S 70.005566°
E 85.330811°		 ← 208.85 m →
43 618 m²		 S 70.005566°
E 85.336304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737037658691406 y=0.776237487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737037658691406 × 216)
    floor (0.737037658691406 × 65536)
    floor (48302.5)     		tx = 48302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776237487792969 × 216)
    floor (0.776237487792969 × 65536)
    floor (50871.5)     		ty = 50871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48302 / 50871 ti = "16/48302/50871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48302/50871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48302 ÷ 216
    48302 ÷ 65536     		x = 0.737030029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50871 ÷ 216
    50871 ÷ 65536     		y = 0.776229858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737030029296875 × 2 - 1) × π
    0.47406005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.48930360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776229858398438 × 2 - 1) × π
    -0.552459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73560338764375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48930360} λ = 1.48930360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73560338764375))-π/2
    2×atan(0.176293794690271)-π/2
    2×0.174500739679484-π/2
    0.349001479358969-1.57079632675     		φ = -1.22179485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48930360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.330811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22179485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.003688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48302 KachelY 50871 1.48930360 -1.22179485 85.330811 -70.003688
    Oben rechts KachelX + 1 48303 KachelY 50871 1.48939947 -1.22179485 85.336304 -70.003688
    Unten links KachelX 48302 KachelY + 1 50872 1.48930360 -1.22182763 85.330811 -70.005566
    Unten rechts KachelX + 1 48303 KachelY + 1 50872 1.48939947 -1.22182763 85.336304 -70.005566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22179485--1.22182763) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dl = 208.84137999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22179485--1.22182763) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dr = 208.84137999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48930360-1.48939947) × cos(-1.22179485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341959651216428 × 6371000     		do = 208.864772796455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48930360-1.48939947) × cos(-1.22182763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341928847186946 × 6371000     		du = 208.845958071981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22179485)-sin(-1.22182763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341959651216428-0.341928847186946)×R²
    abs(1.48939947-1.48930360)×3.08040294821899e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08040294821899e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08040294821899e-05×40589641000000     		ar = 43617.6427416423m²