Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 483 / 585
↖ ↑ ↗
← S 24.846565°
W 10.195312°		 ← 35.473 km → S 24.846565°
W  9.843750°		 →
↑
35.428 km
↓
↑
35.428 km
↓
S 25.165173°
W 10.195312°		 ← 35.382 km →
1 255.11 km²		 S 25.165173°
W  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47216796875 y=0.57177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47216796875 × 210)
    floor (0.47216796875 × 1024)
    floor (483.5)     		tx = 483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57177734375 × 210)
    floor (0.57177734375 × 1024)
    floor (585.5)     		ty = 585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 483 / 585 ti = "10/483/585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/483/585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 483 ÷ 210
    483 ÷ 1024     		x = 0.4716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 585 ÷ 210
    585 ÷ 1024     		y = 0.5712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    -0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17794177} λ = -0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.447922390049805))-π/2
    2×atan(0.638954271316832)-π/2
    2×0.568570976834074-π/2
    1.13714195366815-1.57079632675     		φ = -0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 483 KachelY 585 -0.17794177 -0.43365437 -10.195312 -24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 484 KachelY 585 -0.17180585 -0.43365437 -9.843750 -24.846565
    Unten links KachelX 483 KachelY + 1 586 -0.17794177 -0.43921513 -10.195312 -25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 484 KachelY + 1 586 -0.17180585 -0.43921513 -9.843750 -25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43365437--0.43921513) × R
    0.00556076 × 6371000     		dl = 35427.60196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43365437--0.43921513) × R
    0.00556076 × 6371000     		dr = 35427.60196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17794177--0.17180585) × cos(-0.43365437) × R
    0.00613591999999999 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 35473.4504858578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17794177--0.17180585) × cos(-0.43921513) × R
    0.00613591999999999 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 35381.5612718335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43365437)-sin(-0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.905085691620626)×R²
    abs(-0.17180585--0.17794177)×0.00235059194218801×R²
    0.00613591999999999×0.00235059194218801×6371000²
    0.00613591999999999×0.00235059194218801×40589641000000     		ar = 1255114810.94007m²