Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48297 / 81775
↖ ↑ ↗
← S 40.678555°
W 47.348327°		 ← 231.58 m → S 40.678555°
W 47.345581°		 →
↑
231.65 m
↓
↑
231.65 m
↓
S 40.680638°
W 47.348327°		 ← 231.57 m →
53 645 m²		 S 40.680638°
W 47.345581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368480682373047 y=0.623897552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368480682373047 × 217)
    floor (0.368480682373047 × 131072)
    floor (48297.5)     		tx = 48297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623897552490234 × 217)
    floor (0.623897552490234 × 131072)
    floor (81775.5)     		ty = 81775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48297 / 81775 ti = "17/48297/81775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48297/81775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48297 ÷ 217
    48297 ÷ 131072     		x = 0.368476867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81775 ÷ 217
    81775 ÷ 131072     		y = 0.623893737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368476867675781 × 2 - 1) × π
    -0.263046264648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.82638421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623893737792969 × 2 - 1) × π
    -0.247787475585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.778447312930092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82638421} λ = -0.82638421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778447312930092))-π/2
    2×atan(0.459118325248964)-π/2
    2×0.430410802599396-π/2
    0.860821605198793-1.57079632675     		φ = -0.70997472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82638421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.348327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70997472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.678555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48297 KachelY 81775 -0.82638421 -0.70997472 -47.348327 -40.678555
    Oben rechts KachelX + 1 48298 KachelY 81775 -0.82633628 -0.70997472 -47.345581 -40.678555
    Unten links KachelX 48297 KachelY + 1 81776 -0.82638421 -0.71001108 -47.348327 -40.680638
    Unten rechts KachelX + 1 48298 KachelY + 1 81776 -0.82633628 -0.71001108 -47.345581 -40.680638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70997472--0.71001108) × R
    3.63600000000686e-05 × 6371000     		dl = 231.649560000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70997472--0.71001108) × R
    3.63600000000686e-05 × 6371000     		dr = 231.649560000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82638421--0.82633628) × cos(-0.70997472) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.758378354105911 × 6371000     		do = 231.579953717445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82638421--0.82633628) × cos(-0.71001108) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.758354653625775 × 6371000     		du = 231.572716490719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70997472)-sin(-0.71001108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758378354105911-0.758354653625775)×R²
    abs(-0.82633628--0.82638421)×2.37004801367791e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37004801367791e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37004801367791e-05×40589641000000     		ar = 53644.5561393396m²