Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48297 / 81560
↖ ↑ ↗
← S 40.229218°
W 47.348327°		 ← 233.13 m → S 40.229218°
W 47.345581°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 40.231315°
W 47.348327°		 ← 233.13 m →
54 361 m²		 S 40.231315°
W 47.345581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368480682373047 y=0.622257232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368480682373047 × 217)
    floor (0.368480682373047 × 131072)
    floor (48297.5)     		tx = 48297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622257232666016 × 217)
    floor (0.622257232666016 × 131072)
    floor (81560.5)     		ty = 81560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48297 / 81560 ti = "17/48297/81560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48297/81560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48297 ÷ 217
    48297 ÷ 131072     		x = 0.368476867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81560 ÷ 217
    81560 ÷ 131072     		y = 0.62225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368476867675781 × 2 - 1) × π
    -0.263046264648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.82638421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.2445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.76814087951178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82638421} λ = -0.82638421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76814087951178))-π/2
    2×atan(0.463874666051681)-π/2
    2×0.434332006957817-π/2
    0.868664013915634-1.57079632675     		φ = -0.70213231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82638421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.348327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70213231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.229218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48297 KachelY 81560 -0.82638421 -0.70213231 -47.348327 -40.229218
    Oben rechts KachelX + 1 48298 KachelY 81560 -0.82633628 -0.70213231 -47.345581 -40.229218
    Unten links KachelX 48297 KachelY + 1 81561 -0.82638421 -0.70216891 -47.348327 -40.231315
    Unten rechts KachelX + 1 48298 KachelY + 1 81561 -0.82633628 -0.70216891 -47.345581 -40.231315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70213231--0.70216891) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dl = 233.178600000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70213231--0.70216891) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dr = 233.178600000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82638421--0.82633628) × cos(-0.70213231) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.763466777737876 × 6371000     		do = 233.133765087199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82638421--0.82633628) × cos(-0.70216891) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.76344313922259 × 6371000     		du = 233.126546782185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70213231)-sin(-0.70216891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763466777737876-0.76344313922259)×R²
    abs(-0.82633628--0.82638421)×2.36385152864171e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.36385152864171e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.36385152864171e-05×40589641000000     		ar = 54360.9633847493m²