Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48296 / 54232
↖ ↑ ↗
← N 29.630771°
W 47.351074°		 ← 265.49 m → N 29.630771°
W 47.348327°		 →
↑
265.48 m
↓
↑
265.48 m
↓
N 29.628384°
W 47.351074°		 ← 265.49 m →
70 482 m²		 N 29.628384°
W 47.348327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368473052978516 y=0.413761138916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368473052978516 × 217)
    floor (0.368473052978516 × 131072)
    floor (48296.5)     		tx = 48296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413761138916016 × 217)
    floor (0.413761138916016 × 131072)
    floor (54232.5)     		ty = 54232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48296 / 54232 ti = "17/48296/54232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48296/54232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48296 ÷ 217
    48296 ÷ 131072     		x = 0.36846923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54232 ÷ 217
    54232 ÷ 131072     		y = 0.41375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.2630615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82643215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41375732421875 × 2 - 1) × π
    0.1724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.541878713305115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82643215} λ = -0.82643215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.541878713305115))-π/2
    2×atan(1.71923377738364)-π/2
    2×1.04397542212636-π/2
    2.08795084425272-1.57079632675     		φ = 0.51715452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82643215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.351074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51715452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.630771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48296 KachelY 54232 -0.82643215 0.51715452 -47.351074 29.630771
    Oben rechts KachelX + 1 48297 KachelY 54232 -0.82638421 0.51715452 -47.348327 29.630771
    Unten links KachelX 48296 KachelY + 1 54233 -0.82643215 0.51711285 -47.351074 29.628384
    Unten rechts KachelX + 1 48297 KachelY + 1 54233 -0.82638421 0.51711285 -47.348327 29.628384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51715452-0.51711285) × R
    4.16699999999937e-05 × 6371000     		dl = 265.47956999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51715452-0.51711285) × R
    4.16699999999937e-05 × 6371000     		dr = 265.47956999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82643215--0.82638421) × cos(0.51715452) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.869229527006441 × 6371000     		do = 265.485071516233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82643215--0.82638421) × cos(0.51711285) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.869250128265116 × 6371000     		du = 265.491363670909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51715452)-sin(0.51711285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869229527006441-0.869250128265116)×R²
    abs(-0.82638421--0.82643215)×2.06012586755344e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.06012586755344e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.06012586755344e-05×40589641000000     		ar = 70481.6978570478m²