Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48290 / 83046
↖ ↑ ↗
← S 43.273206°
W 47.367554°		 ← 222.38 m → S 43.273206°
W 47.364807°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
S 43.275205°
W 47.367554°		 ← 222.37 m →
49 445 m²		 S 43.275205°
W 47.364807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368427276611328 y=0.633594512939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368427276611328 × 217)
    floor (0.368427276611328 × 131072)
    floor (48290.5)     		tx = 48290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633594512939453 × 217)
    floor (0.633594512939453 × 131072)
    floor (83046.5)     		ty = 83046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48290 / 83046 ti = "17/48290/83046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48290/83046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48290 ÷ 217
    48290 ÷ 131072     		x = 0.368423461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83046 ÷ 217
    83046 ÷ 131072     		y = 0.633590698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368423461914062 × 2 - 1) × π
    -0.263153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82671977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633590698242188 × 2 - 1) × π
    -0.267181396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839375112347183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82671977} λ = -0.82671977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839375112347183))-π/2
    2×atan(0.431980378310472)-π/2
    2×0.407768202833101-π/2
    0.815536405666202-1.57079632675     		φ = -0.75525992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82671977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.367554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75525992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.273206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48290 KachelY 83046 -0.82671977 -0.75525992 -47.367554 -43.273206
    Oben rechts KachelX + 1 48291 KachelY 83046 -0.82667183 -0.75525992 -47.364807 -43.273206
    Unten links KachelX 48290 KachelY + 1 83047 -0.82671977 -0.75529482 -47.367554 -43.275205
    Unten rechts KachelX + 1 48291 KachelY + 1 83047 -0.82667183 -0.75529482 -47.364807 -43.275205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75525992--0.75529482) × R
    3.49000000000599e-05 × 6371000     		dl = 222.347900000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75525992--0.75529482) × R
    3.49000000000599e-05 × 6371000     		dr = 222.347900000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82671977--0.82667183) × cos(-0.75525992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728093398353503 × 6371000     		do = 222.378464981088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82671977--0.82667183) × cos(-0.75529482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728069474730065 × 6371000     		du = 222.371158090696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75525992)-sin(-0.75529482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728093398353503-0.728069474730065)×R²
    abs(-0.82667183--0.82671977)×2.39236234385043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39236234385043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39236234385043e-05×40589641000000     		ar = 49444.5723630676m²