Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4829 / 3686
↖ ↑ ↗
← N 17.727759°
E 32.211914°		 ← 4 654.45 m → N 17.727759°
E 32.255859°		 →
↑
4 655.03 m
↓
↑
4 655.03 m
↓
N 17.685895°
E 32.211914°		 ← 4 655.54 m →
21 669 172 m²		 N 17.685895°
E 32.255859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58953857421875 y=0.45001220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58953857421875 × 213)
    floor (0.58953857421875 × 8192)
    floor (4829.5)     		tx = 4829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45001220703125 × 213)
    floor (0.45001220703125 × 8192)
    floor (3686.5)     		ty = 3686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4829 / 3686 ti = "13/4829/3686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4829/3686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4829 ÷ 213
    4829 ÷ 8192     		x = 0.5894775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3686 ÷ 213
    3686 ÷ 8192     		y = 0.449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5894775390625 × 2 - 1) × π
    0.178955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56220396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    0.10009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56220396} λ = 0.56220396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314466061507568))-π/2
    2×atan(1.36952787205533)-π/2
    2×0.940102041763515-π/2
    1.88020408352703-1.57079632675     		φ = 0.30940776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56220396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.211914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30940776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.727759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4829 KachelY 3686 0.56220396 0.30940776 32.211914 17.727759
    Oben rechts KachelX + 1 4830 KachelY 3686 0.56297095 0.30940776 32.255859 17.727759
    Unten links KachelX 4829 KachelY + 1 3687 0.56220396 0.30867710 32.211914 17.685895
    Unten rechts KachelX + 1 4830 KachelY + 1 3687 0.56297095 0.30867710 32.255859 17.685895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30940776-0.30867710) × R
    0.000730659999999994 × 6371000     		dl = 4655.03485999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30940776-0.30867710) × R
    0.000730659999999994 × 6371000     		dr = 4655.03485999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56220396-0.56297095) × cos(0.30940776) × R
    0.000766990000000023 × 0.952514070787353 × 6371000     		do = 4654.45361553312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56220396-0.56297095) × cos(0.30867710) × R
    0.000766990000000023 × 0.952736298515732 × 6371000     		du = 4655.5395298367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30940776)-sin(0.30867710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952514070787353-0.952736298515732)×R²
    abs(0.56297095-0.56220396)×0.000222227728379543×R²
    0.000766990000000023×0.000222227728379543×6371000²
    0.000766990000000023×0.000222227728379543×40589641000000     		ar = 21669172.2830614m²