Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48288 / 83103
↖ ↑ ↗
← S 43.387086°
W 47.373047°		 ← 221.92 m → S 43.387086°
W 47.370300°		 →
↑
221.97 m
↓
↑
221.97 m
↓
S 43.389082°
W 47.373047°		 ← 221.91 m →
49 257 m²		 S 43.389082°
W 47.370300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368412017822266 y=0.634029388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368412017822266 × 217)
    floor (0.368412017822266 × 131072)
    floor (48288.5)     		tx = 48288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634029388427734 × 217)
    floor (0.634029388427734 × 131072)
    floor (83103.5)     		ty = 83103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48288 / 83103 ti = "17/48288/83103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48288/83103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48288 ÷ 217
    48288 ÷ 131072     		x = 0.368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83103 ÷ 217
    83103 ÷ 131072     		y = 0.634025573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.26318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82681564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634025573730469 × 2 - 1) × π
    -0.268051147460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.842107515625526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82681564} λ = -0.82681564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842107515625526))-π/2
    2×atan(0.430801644829582)-π/2
    2×0.406774412071757-π/2
    0.813548824143514-1.57079632675     		φ = -0.75724750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82681564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.373047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75724750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.387086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48288 KachelY 83103 -0.82681564 -0.75724750 -47.373047 -43.387086
    Oben rechts KachelX + 1 48289 KachelY 83103 -0.82676771 -0.75724750 -47.370300 -43.387086
    Unten links KachelX 48288 KachelY + 1 83104 -0.82681564 -0.75728234 -47.373047 -43.389082
    Unten rechts KachelX + 1 48289 KachelY + 1 83104 -0.82676771 -0.75728234 -47.370300 -43.389082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75724750--0.75728234) × R
    3.48400000000915e-05 × 6371000     		dl = 221.965640000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75724750--0.75728234) × R
    3.48400000000915e-05 × 6371000     		dr = 221.965640000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82681564--0.82676771) × cos(-0.75724750) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.726729518854208 × 6371000     		do = 221.915601137866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82681564--0.82676771) × cos(-0.75728234) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.72670558599051 × 6371000     		du = 221.908292950023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75724750)-sin(-0.75728234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726729518854208-0.72670558599051)×R²
    abs(-0.82676771--0.82681564)×2.39328636979508e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39328636979508e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39328636979508e-05×40589641000000     		ar = 49256.8273544279m²