Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48286 / 83038
↖ ↑ ↗
← S 43.257205°
W 47.378540°		 ← 222.44 m → S 43.257205°
W 47.375793°		 →
↑
222.48 m
↓
↑
222.48 m
↓
S 43.259206°
W 47.378540°		 ← 222.43 m →
49 486 m²		 S 43.259206°
W 47.375793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368396759033203 y=0.633533477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368396759033203 × 217)
    floor (0.368396759033203 × 131072)
    floor (48286.5)     		tx = 48286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633533477783203 × 217)
    floor (0.633533477783203 × 131072)
    floor (83038.5)     		ty = 83038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48286 / 83038 ti = "17/48286/83038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48286/83038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48286 ÷ 217
    48286 ÷ 131072     		x = 0.368392944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83038 ÷ 217
    83038 ÷ 131072     		y = 0.633529663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368392944335938 × 2 - 1) × π
    -0.263214111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82691152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633529663085938 × 2 - 1) × π
    -0.267059326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.838991617150223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82691152} λ = -0.82691152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838991617150223))-π/2
    2×atan(0.432146072480164)-π/2
    2×0.407907831343534-π/2
    0.815815662687069-1.57079632675     		φ = -0.75498066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82691152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.378540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75498066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.257205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48286 KachelY 83038 -0.82691152 -0.75498066 -47.378540 -43.257205
    Oben rechts KachelX + 1 48287 KachelY 83038 -0.82686358 -0.75498066 -47.375793 -43.257205
    Unten links KachelX 48286 KachelY + 1 83039 -0.82691152 -0.75501558 -47.378540 -43.259206
    Unten rechts KachelX + 1 48287 KachelY + 1 83039 -0.82686358 -0.75501558 -47.375793 -43.259206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75498066--0.75501558) × R
    3.49200000000494e-05 × 6371000     		dl = 222.475320000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75498066--0.75501558) × R
    3.49200000000494e-05 × 6371000     		dr = 222.475320000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82691152--0.82686358) × cos(-0.75498066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728284796529339 × 6371000     		do = 222.436922910577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82691152--0.82686358) × cos(-0.75501558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728260866296841 × 6371000     		du = 222.429614001608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75498066)-sin(-0.75501558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728284796529339-0.728260866296841)×R²
    abs(-0.82686358--0.82691152)×2.39302324975821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39302324975821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39302324975821e-05×40589641000000     		ar = 49485.9125833892m²