Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48273 / 83047
↖ ↑ ↗
← S 43.275205°
W 47.414246°		 ← 222.37 m → S 43.275205°
W 47.411499°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
S 43.277205°
W 47.414246°		 ← 222.36 m →
49 443 m²		 S 43.277205°
W 47.411499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368297576904297 y=0.633602142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368297576904297 × 217)
    floor (0.368297576904297 × 131072)
    floor (48273.5)     		tx = 48273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633602142333984 × 217)
    floor (0.633602142333984 × 131072)
    floor (83047.5)     		ty = 83047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48273 / 83047 ti = "17/48273/83047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48273/83047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48273 ÷ 217
    48273 ÷ 131072     		x = 0.368293762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83047 ÷ 217
    83047 ÷ 131072     		y = 0.633598327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368293762207031 × 2 - 1) × π
    -0.263412475585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.82753470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633598327636719 × 2 - 1) × π
    -0.267196655273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.839423049246803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82753470} λ = -0.82753470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839423049246803))-π/2
    2×atan(0.431959671006765)-π/2
    2×0.407750751849766-π/2
    0.815501503699532-1.57079632675     		φ = -0.75529482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82753470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.414246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75529482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.275205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48273 KachelY 83047 -0.82753470 -0.75529482 -47.414246 -43.275205
    Oben rechts KachelX + 1 48274 KachelY 83047 -0.82748676 -0.75529482 -47.411499 -43.275205
    Unten links KachelX 48273 KachelY + 1 83048 -0.82753470 -0.75532972 -47.414246 -43.277205
    Unten rechts KachelX + 1 48274 KachelY + 1 83048 -0.82748676 -0.75532972 -47.411499 -43.277205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75529482--0.75532972) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dl = 222.347899999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75529482--0.75532972) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dr = 222.347899999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82753470--0.82748676) × cos(-0.75529482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728069474730065 × 6371000     		do = 222.371158090696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82753470--0.82748676) × cos(-0.75532972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72804555021983 × 6371000     		du = 222.363850929453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75529482)-sin(-0.75532972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728069474730065-0.72804555021983)×R²
    abs(-0.82748676--0.82753470)×2.39245102343633e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39245102343633e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39245102343633e-05×40589641000000     		ar = 49442.9476608785m²