Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48264 / 50936
↖ ↑ ↗
← S 70.125430°
E 85.122070°		 ← 207.67 m → S 70.125430°
E 85.127564°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
S 70.127297°
E 85.122070°		 ← 207.65 m →
43 116 m²		 S 70.127297°
E 85.127564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736457824707031 y=0.777229309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736457824707031 × 216)
    floor (0.736457824707031 × 65536)
    floor (48264.5)     		tx = 48264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777229309082031 × 216)
    floor (0.777229309082031 × 65536)
    floor (50936.5)     		ty = 50936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48264 / 50936 ti = "16/48264/50936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48264/50936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48264 ÷ 216
    48264 ÷ 65536     		x = 0.7364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50936 ÷ 216
    50936 ÷ 65536     		y = 0.7772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7364501953125 × 2 - 1) × π
    0.472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.48566039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74183518459436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48566039} λ = 1.48566039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74183518459436))-π/2
    2×atan(0.175198583668862)-π/2
    2×0.173438342712393-π/2
    0.346876685424787-1.57079632675     		φ = -1.22391964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48566039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.122070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22391964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.125430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48264 KachelY 50936 1.48566039 -1.22391964 85.122070 -70.125430
    Oben rechts KachelX + 1 48265 KachelY 50936 1.48575627 -1.22391964 85.127564 -70.125430
    Unten links KachelX 48264 KachelY + 1 50937 1.48566039 -1.22395223 85.122070 -70.127297
    Unten rechts KachelX + 1 48265 KachelY + 1 50937 1.48575627 -1.22395223 85.127564 -70.127297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22391964--1.22395223) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22391964--1.22395223) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48566039-1.48575627) × cos(-1.22391964) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.339962184529729 × 6371000     		do = 207.666403563882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48566039-1.48575627) × cos(-1.22395223) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.339931535438714 × 6371000     		du = 207.647681521275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22391964)-sin(-1.22395223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339962184529729-0.339931535438714)×R²
    abs(1.48575627-1.48566039)×3.0649091014634e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0649091014634e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0649091014634e-05×40589641000000     		ar = 43116.0165617084m²