Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48263 / 50991
↖ ↑ ↗
← S 70.227886°
E 85.116577°		 ← 206.62 m → S 70.227886°
E 85.122070°		 →
↑
206.61 m
↓
↑
206.61 m
↓
S 70.229744°
E 85.116577°		 ← 206.60 m →
42 688 m²		 S 70.229744°
E 85.122070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736442565917969 y=0.778068542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736442565917969 × 216)
    floor (0.736442565917969 × 65536)
    floor (48263.5)     		tx = 48263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778068542480469 × 216)
    floor (0.778068542480469 × 65536)
    floor (50991.5)     		ty = 50991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48263 / 50991 ti = "16/48263/50991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48263/50991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48263 ÷ 216
    48263 ÷ 65536     		x = 0.736434936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50991 ÷ 216
    50991 ÷ 65536     		y = 0.778060913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.736434936523438 × 2 - 1) × π
    0.472869873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.48556452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778060913085938 × 2 - 1) × π
    -0.556121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74710824355257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48556452} λ = 1.48556452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74710824355257))-π/2
    2×atan(0.17427718264372)-π/2
    2×0.172544241624619-π/2
    0.345088483249239-1.57079632675     		φ = -1.22570784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48556452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.116577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22570784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.227886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48263 KachelY 50991 1.48556452 -1.22570784 85.116577 -70.227886
    Oben rechts KachelX + 1 48264 KachelY 50991 1.48566039 -1.22570784 85.122070 -70.227886
    Unten links KachelX 48263 KachelY + 1 50992 1.48556452 -1.22574027 85.116577 -70.229744
    Unten rechts KachelX + 1 48264 KachelY + 1 50992 1.48566039 -1.22574027 85.122070 -70.229744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22570784--1.22574027) × R
    3.24299999998612e-05 × 6371000     		dl = 206.611529999116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22570784--1.22574027) × R
    3.24299999998612e-05 × 6371000     		dr = 206.611529999116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48556452-1.48566039) × cos(-1.22570784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338279948674214 × 6371000     		do = 206.617255486433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48556452-1.48566039) × cos(-1.22574027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338249430390024 × 6371000     		du = 206.598615291689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22570784)-sin(-1.22574027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338279948674214-0.338249430390024)×R²
    abs(1.48566039-1.48556452)×3.05182841902063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05182841902063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05182841902063e-05×40589641000000     		ar = 42687.5816442223m²