Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48263 / 50935
↖ ↑ ↗
← S 70.123563°
E 85.116577°		 ← 207.66 m → S 70.123563°
E 85.122070°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
S 70.125430°
E 85.116577°		 ← 207.64 m →
43 115 m²		 S 70.125430°
E 85.122070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736442565917969 y=0.777214050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736442565917969 × 216)
    floor (0.736442565917969 × 65536)
    floor (48263.5)     		tx = 48263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777214050292969 × 216)
    floor (0.777214050292969 × 65536)
    floor (50935.5)     		ty = 50935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48263 / 50935 ti = "16/48263/50935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48263/50935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48263 ÷ 216
    48263 ÷ 65536     		x = 0.736434936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50935 ÷ 216
    50935 ÷ 65536     		y = 0.777206420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.736434936523438 × 2 - 1) × π
    0.472869873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.48556452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777206420898438 × 2 - 1) × π
    -0.554412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74173931079512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48556452} λ = 1.48556452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74173931079512))-π/2
    2×atan(0.175215381427919)-π/2
    2×0.17345464018015-π/2
    0.3469092803603-1.57079632675     		φ = -1.22388705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48556452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.116577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22388705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.123563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48263 KachelY 50935 1.48556452 -1.22388705 85.116577 -70.123563
    Oben rechts KachelX + 1 48264 KachelY 50935 1.48566039 -1.22388705 85.122070 -70.123563
    Unten links KachelX 48263 KachelY + 1 50936 1.48556452 -1.22391964 85.116577 -70.125430
    Unten rechts KachelX + 1 48264 KachelY + 1 50936 1.48566039 -1.22391964 85.122070 -70.125430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22388705--1.22391964) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22388705--1.22391964) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48556452-1.48566039) × cos(-1.22388705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339992833259667 × 6371000     		do = 207.663464442649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48556452-1.48566039) × cos(-1.22391964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339962184529729 × 6371000     		du = 207.644744573237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22388705)-sin(-1.22391964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339992833259667-0.339962184529729)×R²
    abs(1.48566039-1.48556452)×3.06487299380764e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06487299380764e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06487299380764e-05×40589641000000     		ar = 43115.4065350081m²