Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48256 / 58752
↖ ↑ ↗
← N 18.312811°
W 47.460938°		 ← 289.96 m → N 18.312811°
W 47.458191°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
N 18.310204°
W 47.460938°		 ← 289.96 m →
84 054 m²		 N 18.310204°
W 47.458191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368167877197266 y=0.448246002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368167877197266 × 217)
    floor (0.368167877197266 × 131072)
    floor (48256.5)     		tx = 48256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448246002197266 × 217)
    floor (0.448246002197266 × 131072)
    floor (58752.5)     		ty = 58752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48256 / 58752 ti = "17/48256/58752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48256/58752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48256 ÷ 217
    48256 ÷ 131072     		x = 0.3681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58752 ÷ 217
    58752 ÷ 131072     		y = 0.4482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3681640625 × 2 - 1) × π
    -0.263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82834963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    0.103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.325203927022461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82834963} λ = -0.82834963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325203927022461))-π/2
    2×atan(1.38431291600965)-π/2
    2×0.945207585675563-π/2
    1.89041517135113-1.57079632675     		φ = 0.31961884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82834963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.460938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31961884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.312811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48256 KachelY 58752 -0.82834963 0.31961884 -47.460938 18.312811
    Oben rechts KachelX + 1 48257 KachelY 58752 -0.82830169 0.31961884 -47.458191 18.312811
    Unten links KachelX 48256 KachelY + 1 58753 -0.82834963 0.31957334 -47.460938 18.310204
    Unten rechts KachelX + 1 48257 KachelY + 1 58753 -0.82830169 0.31957334 -47.458191 18.310204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31961884-0.31957334) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dl = 289.880500000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31961884-0.31957334) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dr = 289.880500000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82834963--0.82830169) × cos(0.31961884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949355249315924 × 6371000     		do = 289.95752954501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82834963--0.82830169) × cos(0.31957334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949369544648305 × 6371000     		du = 289.961895707482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31961884)-sin(0.31957334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949355249315924-0.949369544648305)×R²
    abs(-0.82830169--0.82834963)×1.42953323813977e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42953323813977e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42953323813977e-05×40589641000000     		ar = 84053.6664904857m²