Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48249 / 50954
↖ ↑ ↗
← S 70.159017°
E 85.039673°		 ← 207.31 m → S 70.159017°
E 85.045166°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
S 70.160882°
E 85.039673°		 ← 207.29 m →
42 976 m²		 S 70.160882°
E 85.045166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736228942871094 y=0.777503967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736228942871094 × 216)
    floor (0.736228942871094 × 65536)
    floor (48249.5)     		tx = 48249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777503967285156 × 216)
    floor (0.777503967285156 × 65536)
    floor (50954.5)     		ty = 50954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48249 / 50954 ti = "16/48249/50954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48249/50954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48249 ÷ 216
    48249 ÷ 65536     		x = 0.736221313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50954 ÷ 216
    50954 ÷ 65536     		y = 0.777496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.736221313476562 × 2 - 1) × π
    0.472442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.48422229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.55499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74356091298068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48422229} λ = 1.48422229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74356091298068))-π/2
    2×atan(0.174896499232595)-π/2
    2×0.173145239443458-π/2
    0.346290478886917-1.57079632675     		φ = -1.22450585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48422229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.039673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22450585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.159017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48249 KachelY 50954 1.48422229 -1.22450585 85.039673 -70.159017
    Oben rechts KachelX + 1 48250 KachelY 50954 1.48431816 -1.22450585 85.045166 -70.159017
    Unten links KachelX 48249 KachelY + 1 50955 1.48422229 -1.22453839 85.039673 -70.160882
    Unten rechts KachelX + 1 48250 KachelY + 1 50955 1.48431816 -1.22453839 85.045166 -70.160882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22450585--1.22453839) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dl = 207.312340000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22450585--1.22453839) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dr = 207.312340000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48422229-1.48431816) × cos(-1.22450585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339410831339996 × 6371000     		do = 207.307984787998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48422229-1.48431816) × cos(-1.22453839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339380222792169 × 6371000     		du = 207.289289461328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22450585)-sin(-1.22453839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339410831339996-0.339380222792169)×R²
    abs(1.48431816-1.48422229)×3.06085478272156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06085478272156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06085478272156e-05×40589641000000     		ar = 42975.5655453458m²