Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48234 / 60458
↖ ↑ ↗
← N 13.811409°
W 47.521362°		 ← 296.59 m → N 13.811409°
W 47.518616°		 →
↑
296.57 m
↓
↑
296.57 m
↓
N 13.808742°
W 47.521362°		 ← 296.60 m →
87 962 m²		 N 13.808742°
W 47.518616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368000030517578 y=0.461261749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368000030517578 × 217)
    floor (0.368000030517578 × 131072)
    floor (48234.5)     		tx = 48234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461261749267578 × 217)
    floor (0.461261749267578 × 131072)
    floor (60458.5)     		ty = 60458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48234 / 60458 ti = "17/48234/60458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48234/60458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48234 ÷ 217
    48234 ÷ 131072     		x = 0.367996215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60458 ÷ 217
    60458 ÷ 131072     		y = 0.461257934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367996215820312 × 2 - 1) × π
    -0.264007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82940424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461257934570312 × 2 - 1) × π
    0.077484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.243423576270645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82940424} λ = -0.82940424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243423576270645))-π/2
    2×atan(1.27560882733163)-π/2
    2×0.905925450799756-π/2
    1.81185090159951-1.57079632675     		φ = 0.24105457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82940424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.521362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24105457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.811409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48234 KachelY 60458 -0.82940424 0.24105457 -47.521362 13.811409
    Oben rechts KachelX + 1 48235 KachelY 60458 -0.82935630 0.24105457 -47.518616 13.811409
    Unten links KachelX 48234 KachelY + 1 60459 -0.82940424 0.24100802 -47.521362 13.808742
    Unten rechts KachelX + 1 48235 KachelY + 1 60459 -0.82935630 0.24100802 -47.518616 13.808742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24105457-0.24100802) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dl = 296.57005000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24105457-0.24100802) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dr = 296.57005000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82940424--0.82935630) × cos(0.24105457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971086760718625 × 6371000     		do = 296.594892496494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82940424--0.82935630) × cos(0.24100802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971097872400802 × 6371000     		du = 296.598286290246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24105457)-sin(0.24100802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971086760718625-0.971097872400802)×R²
    abs(-0.82935630--0.82940424)×1.11116821772672e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11116821772672e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11116821772672e-05×40589641000000     		ar = 87961.6653621402m²