Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48223 / 50981
↖ ↑ ↗
← S 70.209296°
E 84.896851°		 ← 206.80 m → S 70.209296°
E 84.902344°		 →
↑
206.80 m
↓
↑
206.80 m
↓
S 70.211156°
E 84.896851°		 ← 206.79 m →
42 766 m²		 S 70.211156°
E 84.902344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735832214355469 y=0.777915954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735832214355469 × 216)
    floor (0.735832214355469 × 65536)
    floor (48223.5)     		tx = 48223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777915954589844 × 216)
    floor (0.777915954589844 × 65536)
    floor (50981.5)     		ty = 50981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48223 / 50981 ti = "16/48223/50981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48223/50981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48223 ÷ 216
    48223 ÷ 65536     		x = 0.735824584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50981 ÷ 216
    50981 ÷ 65536     		y = 0.777908325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735824584960938 × 2 - 1) × π
    0.471649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.48172957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777908325195312 × 2 - 1) × π
    -0.555816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74614950556017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48172957} λ = 1.48172957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74614950556017))-π/2
    2×atan(0.174444348921456)-π/2
    2×0.172706475713704-π/2
    0.345412951427409-1.57079632675     		φ = -1.22538338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48172957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.896851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22538338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.209296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48223 KachelY 50981 1.48172957 -1.22538338 84.896851 -70.209296
    Oben rechts KachelX + 1 48224 KachelY 50981 1.48182544 -1.22538338 84.902344 -70.209296
    Unten links KachelX 48223 KachelY + 1 50982 1.48172957 -1.22541584 84.896851 -70.211156
    Unten rechts KachelX + 1 48224 KachelY + 1 50982 1.48182544 -1.22541584 84.902344 -70.211156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22538338--1.22541584) × R
    3.24599999999009e-05 × 6371000     		dl = 206.802659999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22538338--1.22541584) × R
    3.24599999999009e-05 × 6371000     		dr = 206.802659999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48172957-1.48182544) × cos(-1.22538338) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338585262493153 × 6371000     		do = 206.803737433053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48172957-1.48182544) × cos(-1.22541584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33855471954147 × 6371000     		du = 206.785082171705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22538338)-sin(-1.22541584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338585262493153-0.33855471954147)×R²
    abs(1.48182544-1.48172957)×3.0542951683421e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0542951683421e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0542951683421e-05×40589641000000     		ar = 42765.6340240833m²