Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48222 / 50980
↖ ↑ ↗
← S 70.207436°
E 84.891357°		 ← 206.84 m → S 70.207436°
E 84.896851°		 →
↑
206.87 m
↓
↑
206.87 m
↓
S 70.209296°
E 84.891357°		 ← 206.83 m →
42 787 m²		 S 70.209296°
E 84.896851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735816955566406 y=0.777900695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735816955566406 × 216)
    floor (0.735816955566406 × 65536)
    floor (48222.5)     		tx = 48222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777900695800781 × 216)
    floor (0.777900695800781 × 65536)
    floor (50980.5)     		ty = 50980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48222 / 50980 ti = "16/48222/50980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48222/50980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48222 ÷ 216
    48222 ÷ 65536     		x = 0.735809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50980 ÷ 216
    50980 ÷ 65536     		y = 0.77789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735809326171875 × 2 - 1) × π
    0.47161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.48163369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.5557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74605363176093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48163369} λ = 1.48163369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74605363176093))-π/2
    2×atan(0.174461074365696)-π/2
    2×0.172722707173769-π/2
    0.345445414347538-1.57079632675     		φ = -1.22535091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48163369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.891357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22535091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48222 KachelY 50980 1.48163369 -1.22535091 84.891357 -70.207436
    Oben rechts KachelX + 1 48223 KachelY 50980 1.48172957 -1.22535091 84.896851 -70.207436
    Unten links KachelX 48222 KachelY + 1 50981 1.48163369 -1.22538338 84.891357 -70.209296
    Unten rechts KachelX + 1 48223 KachelY + 1 50981 1.48172957 -1.22538338 84.896851 -70.209296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22535091--1.22538338) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dl = 206.866370000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22535091--1.22538338) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dr = 206.866370000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48163369-1.48172957) × cos(-1.22535091) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.338615814497333 × 6371000     		do = 206.843971436966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48163369-1.48172957) × cos(-1.22538338) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.338585262493153 × 6371000     		du = 206.825308699995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22535091)-sin(-1.22538338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338615814497333-0.338585262493153)×R²
    abs(1.48172957-1.48163369)×3.05520041798402e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.05520041798402e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.05520041798402e-05×40589641000000     		ar = 42787.1311850638m²