Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48219 / 51091
↖ ↑ ↗
← S 70.412873°
E 84.874878°		 ← 204.78 m → S 70.412873°
E 84.880371°		 →
↑
204.76 m
↓
↑
204.76 m
↓
S 70.414715°
E 84.874878°		 ← 204.76 m →
41 930 m²		 S 70.414715°
E 84.880371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735771179199219 y=0.779594421386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735771179199219 × 216)
    floor (0.735771179199219 × 65536)
    floor (48219.5)     		tx = 48219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779594421386719 × 216)
    floor (0.779594421386719 × 65536)
    floor (51091.5)     		ty = 51091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48219 / 51091 ti = "16/48219/51091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48219/51091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48219 ÷ 216
    48219 ÷ 65536     		x = 0.735763549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51091 ÷ 216
    51091 ÷ 65536     		y = 0.779586791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735763549804688 × 2 - 1) × π
    0.471527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.48134607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779586791992188 × 2 - 1) × π
    -0.559173583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75669562347658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48134607} λ = 1.48134607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75669562347658))-π/2
    2×atan(0.17261430513816)-π/2
    2×0.170929928516634-π/2
    0.341859857033268-1.57079632675     		φ = -1.22893647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48134607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.874878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22893647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.412873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48219 KachelY 51091 1.48134607 -1.22893647 84.874878 -70.412873
    Oben rechts KachelX + 1 48220 KachelY 51091 1.48144195 -1.22893647 84.880371 -70.412873
    Unten links KachelX 48219 KachelY + 1 51092 1.48134607 -1.22896861 84.874878 -70.414715
    Unten rechts KachelX + 1 48220 KachelY + 1 51092 1.48144195 -1.22896861 84.880371 -70.414715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22893647--1.22896861) × R
    3.21399999998473e-05 × 6371000     		dl = 204.763939999027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22893647--1.22896861) × R
    3.21399999998473e-05 × 6371000     		dr = 204.763939999027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48134607-1.48144195) × cos(-1.22893647) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335239903023589 × 6371000     		do = 204.781790916881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48134607-1.48144195) × cos(-1.22896861) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335209622702346 × 6371000     		du = 204.763294137836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22893647)-sin(-1.22896861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335239903023589-0.335209622702346)×R²
    abs(1.48144195-1.48134607)×3.02803212422487e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02803212422487e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02803212422487e-05×40589641000000     		ar = 41930.0326151096m²