Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48216 / 54344
↖ ↑ ↗
← N 29.363027°
W 47.570801°		 ← 266.19 m → N 29.363027°
W 47.568054°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
N 29.360633°
W 47.570801°		 ← 266.19 m →
70 855 m²		 N 29.360633°
W 47.568054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367862701416016 y=0.414615631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367862701416016 × 217)
    floor (0.367862701416016 × 131072)
    floor (48216.5)     		tx = 48216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414615631103516 × 217)
    floor (0.414615631103516 × 131072)
    floor (54344.5)     		ty = 54344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48216 / 54344 ti = "17/48216/54344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48216/54344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48216 ÷ 217
    48216 ÷ 131072     		x = 0.36785888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54344 ÷ 217
    54344 ÷ 131072     		y = 0.41461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2642822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83026710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41461181640625 × 2 - 1) × π
    0.1707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.536509780547669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83026710} λ = -0.83026710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536509780547669))-π/2
    2×atan(1.71002806138684)-π/2
    2×1.04163891347149-π/2
    2.08327782694298-1.57079632675     		φ = 0.51248150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83026710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.570801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51248150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.363027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48216 KachelY 54344 -0.83026710 0.51248150 -47.570801 29.363027
    Oben rechts KachelX + 1 48217 KachelY 54344 -0.83021916 0.51248150 -47.568054 29.363027
    Unten links KachelX 48216 KachelY + 1 54345 -0.83026710 0.51243972 -47.570801 29.360633
    Unten rechts KachelX + 1 48217 KachelY + 1 54345 -0.83021916 0.51243972 -47.568054 29.360633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51248150-0.51243972) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51248150-0.51243972) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83026710--0.83021916) × cos(0.51248150) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.871530409940769 × 6371000     		do = 266.187820389105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83026710--0.83021916) × cos(0.51243972) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.871550895646183 × 6371000     		du = 266.19407725084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51248150)-sin(0.51243972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871530409940769-0.871550895646183)×R²
    abs(-0.83021916--0.83026710)×2.04857054135754e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.04857054135754e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.04857054135754e-05×40589641000000     		ar = 70854.8079197612m²