Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48214 / 56358
↖ ↑ ↗
← N 24.432147°
W 47.576294°		 ← 278.08 m → N 24.432147°
W 47.573547°		 →
↑
278.03 m
↓
↑
278.03 m
↓
N 24.429646°
W 47.576294°		 ← 278.08 m →
77 314 m²		 N 24.429646°
W 47.573547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367847442626953 y=0.429981231689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367847442626953 × 217)
    floor (0.367847442626953 × 131072)
    floor (48214.5)     		tx = 48214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429981231689453 × 217)
    floor (0.429981231689453 × 131072)
    floor (56358.5)     		ty = 56358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48214 / 56358 ti = "17/48214/56358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48214/56358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48214 ÷ 217
    48214 ÷ 131072     		x = 0.367843627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56358 ÷ 217
    56358 ÷ 131072     		y = 0.429977416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367843627929688 × 2 - 1) × π
    -0.264312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83036298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429977416992188 × 2 - 1) × π
    0.140045166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.439964864712875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83036298} λ = -0.83036298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439964864712875))-π/2
    2×atan(1.55265266465578)-π/2
    2×0.998608865014453-π/2
    1.99721773002891-1.57079632675     		φ = 0.42642140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83036298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.576294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42642140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.432147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48214 KachelY 56358 -0.83036298 0.42642140 -47.576294 24.432147
    Oben rechts KachelX + 1 48215 KachelY 56358 -0.83031504 0.42642140 -47.573547 24.432147
    Unten links KachelX 48214 KachelY + 1 56359 -0.83036298 0.42637776 -47.576294 24.429646
    Unten rechts KachelX + 1 48215 KachelY + 1 56359 -0.83031504 0.42637776 -47.573547 24.429646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42642140-0.42637776) × R
    4.36400000000114e-05 × 6371000     		dl = 278.030440000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42642140-0.42637776) × R
    4.36400000000114e-05 × 6371000     		dr = 278.030440000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83036298--0.83031504) × cos(0.42642140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910451740071078 × 6371000     		do = 278.075396445314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83036298--0.83031504) × cos(0.42637776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910469789376475 × 6371000     		du = 278.080909167772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42642140)-sin(0.42637776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910451740071078-0.910469789376475)×R²
    abs(-0.83031504--0.83036298)×1.80493053966169e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80493053966169e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80493053966169e-05×40589641000000     		ar = 77314.1911914258m²