Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48210 / 83012
↖ ↑ ↗
← S 43.205176°
W 47.587280°		 ← 222.58 m → S 43.205176°
W 47.584534°		 →
↑
222.60 m
↓
↑
222.60 m
↓
S 43.207178°
W 47.587280°		 ← 222.57 m →
49 546 m²		 S 43.207178°
W 47.584534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367816925048828 y=0.633335113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367816925048828 × 217)
    floor (0.367816925048828 × 131072)
    floor (48210.5)     		tx = 48210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633335113525391 × 217)
    floor (0.633335113525391 × 131072)
    floor (83012.5)     		ty = 83012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48210 / 83012 ti = "17/48210/83012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48210/83012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48210 ÷ 217
    48210 ÷ 131072     		x = 0.367813110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83012 ÷ 217
    83012 ÷ 131072     		y = 0.633331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367813110351562 × 2 - 1) × π
    -0.264373779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83055472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633331298828125 × 2 - 1) × π
    -0.26666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.837745257760101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83055472} λ = -0.83055472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837745257760101))-π/2
    2×atan(0.432685017585383)-π/2
    2×0.408361877449263-π/2
    0.816723754898527-1.57079632675     		φ = -0.75407257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83055472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.587280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75407257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.205176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48210 KachelY 83012 -0.83055472 -0.75407257 -47.587280 -43.205176
    Oben rechts KachelX + 1 48211 KachelY 83012 -0.83050679 -0.75407257 -47.584534 -43.205176
    Unten links KachelX 48210 KachelY + 1 83013 -0.83055472 -0.75410751 -47.587280 -43.207178
    Unten rechts KachelX + 1 48211 KachelY + 1 83013 -0.83050679 -0.75410751 -47.584534 -43.207178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75407257--0.75410751) × R
    3.49399999999278e-05 × 6371000     		dl = 222.60273999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75407257--0.75410751) × R
    3.49399999999278e-05 × 6371000     		dr = 222.60273999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83055472--0.83050679) × cos(-0.75407257) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.728906787158781 × 6371000     		do = 222.580456207204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83055472--0.83050679) × cos(-0.75410751) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.728882866337276 × 6371000     		du = 222.57315169659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75407257)-sin(-0.75410751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728906787158781-0.728882866337276)×R²
    abs(-0.83050679--0.83055472)×2.39208215044862e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39208215044862e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39208215044862e-05×40589641000000     		ar = 49546.2064251m²