Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48208 / 51062
↖ ↑ ↗
← S 70.359399°
E 84.814453°		 ← 205.30 m → S 70.359399°
E 84.819946°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 70.361245°
E 84.814453°		 ← 205.28 m →
42 140 m²		 S 70.361245°
E 84.819946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735603332519531 y=0.779151916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735603332519531 × 216)
    floor (0.735603332519531 × 65536)
    floor (48208.5)     		tx = 48208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779151916503906 × 216)
    floor (0.779151916503906 × 65536)
    floor (51062.5)     		ty = 51062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48208 / 51062 ti = "16/48208/51062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48208/51062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48208 ÷ 216
    48208 ÷ 65536     		x = 0.735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51062 ÷ 216
    51062 ÷ 65536     		y = 0.779144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735595703125 × 2 - 1) × π
    0.47119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.48029146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.55828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75391528329861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48029146} λ = 1.48029146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75391528329861))-π/2
    2×atan(0.173094899424234)-π/2
    2×0.171396579853166-π/2
    0.342793159706332-1.57079632675     		φ = -1.22800317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48029146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22800317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.359399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48208 KachelY 51062 1.48029146 -1.22800317 84.814453 -70.359399
    Oben rechts KachelX + 1 48209 KachelY 51062 1.48038733 -1.22800317 84.819946 -70.359399
    Unten links KachelX 48208 KachelY + 1 51063 1.48029146 -1.22803539 84.814453 -70.361245
    Unten rechts KachelX + 1 48209 KachelY + 1 51063 1.48038733 -1.22803539 84.819946 -70.361245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22800317--1.22803539) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22800317--1.22803539) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48029146-1.48038733) × cos(-1.22800317) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336119049430333 × 6371000     		do = 205.297404656069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48029146-1.48038733) × cos(-1.22803539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336088703831341 × 6371000     		du = 205.278869935331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22800317)-sin(-1.22803539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336119049430333-0.336088703831341)×R²
    abs(1.48038733-1.48029146)×3.03455989921209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03455989921209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03455989921209e-05×40589641000000     		ar = 42140.2390894098m²