Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48203 / 51147
↖ ↑ ↗
← S 70.515738°
E 84.786987°		 ← 203.75 m → S 70.515738°
E 84.792481°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 70.517570°
E 84.786987°		 ← 203.73 m →
41 511 m²		 S 70.517570°
E 84.792481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735527038574219 y=0.780448913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735527038574219 × 216)
    floor (0.735527038574219 × 65536)
    floor (48203.5)     		tx = 48203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780448913574219 × 216)
    floor (0.780448913574219 × 65536)
    floor (51147.5)     		ty = 51147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48203 / 51147 ti = "16/48203/51147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48203/51147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48203 ÷ 216
    48203 ÷ 65536     		x = 0.735519409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51147 ÷ 216
    51147 ÷ 65536     		y = 0.780441284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735519409179688 × 2 - 1) × π
    0.471038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.47981209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780441284179688 × 2 - 1) × π
    -0.560882568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76206455623402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47981209} λ = 1.47981209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76206455623402))-π/2
    2×atan(0.171690033936076)-π/2
    2×0.170032260977941-π/2
    0.340064521955882-1.57079632675     		φ = -1.23073180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47981209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.786987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23073180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.515738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48203 KachelY 51147 1.47981209 -1.23073180 84.786987 -70.515738
    Oben rechts KachelX + 1 48204 KachelY 51147 1.47990797 -1.23073180 84.792481 -70.515738
    Unten links KachelX 48203 KachelY + 1 51148 1.47981209 -1.23076378 84.786987 -70.517570
    Unten rechts KachelX + 1 48204 KachelY + 1 51148 1.47990797 -1.23076378 84.792481 -70.517570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23073180--1.23076378) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dl = 203.744579999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23073180--1.23076378) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dr = 203.744579999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47981209-1.47990797) × cos(-1.23073180) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.333547924383441 × 6371000     		do = 203.74824326042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47981209-1.47990797) × cos(-1.23076378) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.333517775606915 × 6371000     		du = 203.729826835659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23073180)-sin(-1.23076378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333547924383441-0.333517775606915)×R²
    abs(1.47990797-1.47981209)×3.01487765258512e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.01487765258512e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.01487765258512e-05×40589641000000     		ar = 41510.724128793m²