Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48202 / 60282
↖ ↑ ↗
← N 14.280354°
W 47.609253°		 ← 295.99 m → N 14.280354°
W 47.606506°		 →
↑
295.93 m
↓
↑
295.93 m
↓
N 14.277692°
W 47.609253°		 ← 295.99 m →
87 593 m²		 N 14.277692°
W 47.606506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367755889892578 y=0.459918975830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367755889892578 × 217)
    floor (0.367755889892578 × 131072)
    floor (48202.5)     		tx = 48202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459918975830078 × 217)
    floor (0.459918975830078 × 131072)
    floor (60282.5)     		ty = 60282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48202 / 60282 ti = "17/48202/60282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48202/60282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48202 ÷ 217
    48202 ÷ 131072     		x = 0.367752075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60282 ÷ 217
    60282 ÷ 131072     		y = 0.459915161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367752075195312 × 2 - 1) × π
    -0.264495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83093822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459915161132812 × 2 - 1) × π
    0.080169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.251860470603775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83093822} λ = -0.83093822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.251860470603775))-π/2
    2×atan(1.28641653184001)-π/2
    2×0.910017760659092-π/2
    1.82003552131818-1.57079632675     		φ = 0.24923919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83093822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.609253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24923919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.280354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48202 KachelY 60282 -0.83093822 0.24923919 -47.609253 14.280354
    Oben rechts KachelX + 1 48203 KachelY 60282 -0.83089028 0.24923919 -47.606506 14.280354
    Unten links KachelX 48202 KachelY + 1 60283 -0.83093822 0.24919274 -47.609253 14.277692
    Unten rechts KachelX + 1 48203 KachelY + 1 60283 -0.83089028 0.24919274 -47.606506 14.277692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24923919-0.24919274) × R
    4.64500000000034e-05 × 6371000     		dl = 295.932950000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24923919-0.24919274) × R
    4.64500000000034e-05 × 6371000     		dr = 295.932950000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83093822--0.83089028) × cos(0.24923919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969100368680052 × 6371000     		do = 295.988197238184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83093822--0.83089028) × cos(0.24919274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969111825304165 × 6371000     		du = 295.991696386081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24923919)-sin(0.24919274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969100368680052-0.969111825304165)×R²
    abs(-0.83089028--0.83093822)×1.14566241127267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14566241127267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14566241127267e-05×40589641000000     		ar = 87593.1781462148m²