Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48200 / 60232
↖ ↑ ↗
← N 14.413400°
W 47.614746°		 ← 295.81 m → N 14.413400°
W 47.611999°		 →
↑
295.81 m
↓
↑
295.81 m
↓
N 14.410740°
W 47.614746°		 ← 295.82 m →
87 503 m²		 N 14.410740°
W 47.611999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367740631103516 y=0.459537506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367740631103516 × 217)
    floor (0.367740631103516 × 131072)
    floor (48200.5)     		tx = 48200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459537506103516 × 217)
    floor (0.459537506103516 × 131072)
    floor (60232.5)     		ty = 60232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48200 / 60232 ti = "17/48200/60232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48200/60232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48200 ÷ 217
    48200 ÷ 131072     		x = 0.36773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60232 ÷ 217
    60232 ÷ 131072     		y = 0.45953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.2645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83103409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    0.0809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.254257315584778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83103409} λ = -0.83103409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254257315584778))-π/2
    2×atan(1.28950357094704)-π/2
    2×0.9111788080391-π/2
    1.8223576160782-1.57079632675     		φ = 0.25156129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83103409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.614746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25156129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.413400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48200 KachelY 60232 -0.83103409 0.25156129 -47.614746 14.413400
    Oben rechts KachelX + 1 48201 KachelY 60232 -0.83098615 0.25156129 -47.611999 14.413400
    Unten links KachelX 48200 KachelY + 1 60233 -0.83103409 0.25151486 -47.614746 14.410740
    Unten rechts KachelX + 1 48201 KachelY + 1 60233 -0.83098615 0.25151486 -47.611999 14.410740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25156129-0.25151486) × R
    4.64299999999862e-05 × 6371000     		dl = 295.805529999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25156129-0.25151486) × R
    4.64299999999862e-05 × 6371000     		dr = 295.805529999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83103409--0.83098615) × cos(0.25156129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96852497161699 × 6371000     		do = 295.812456164404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83103409--0.83098615) × cos(0.25151486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968536527761973 × 6371000     		du = 295.815985708537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25156129)-sin(0.25151486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96852497161699-0.968536527761973)×R²
    abs(-0.83098615--0.83103409)×1.15561449832713e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15561449832713e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15561449832713e-05×40589641000000     		ar = 87503.4824213065m²