Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48195 / 54343
↖ ↑ ↗
← N 29.365421°
W 47.628479°		 ← 266.18 m → N 29.365421°
W 47.625732°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
N 29.363027°
W 47.628479°		 ← 266.19 m →
70 853 m²		 N 29.363027°
W 47.625732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367702484130859 y=0.414608001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367702484130859 × 217)
    floor (0.367702484130859 × 131072)
    floor (48195.5)     		tx = 48195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414608001708984 × 217)
    floor (0.414608001708984 × 131072)
    floor (54343.5)     		ty = 54343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48195 / 54343 ti = "17/48195/54343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48195/54343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48195 ÷ 217
    48195 ÷ 131072     		x = 0.367698669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54343 ÷ 217
    54343 ÷ 131072     		y = 0.414604187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367698669433594 × 2 - 1) × π
    -0.264602661132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.83127378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414604187011719 × 2 - 1) × π
    0.170791625976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.536557717447289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83127378} λ = -0.83127378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536557717447289))-π/2
    2×atan(1.71011003679518)-π/2
    2×1.04165980245887-π/2
    2.08331960491773-1.57079632675     		φ = 0.51252328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83127378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.628479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51252328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.365421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48195 KachelY 54343 -0.83127378 0.51252328 -47.628479 29.365421
    Oben rechts KachelX + 1 48196 KachelY 54343 -0.83122584 0.51252328 -47.625732 29.365421
    Unten links KachelX 48195 KachelY + 1 54344 -0.83127378 0.51248150 -47.628479 29.363027
    Unten rechts KachelX + 1 48196 KachelY + 1 54344 -0.83122584 0.51248150 -47.625732 29.363027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51252328-0.51248150) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51252328-0.51248150) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83127378--0.83122584) × cos(0.51252328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871509922714039 × 6371000     		do = 266.181563062104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83127378--0.83122584) × cos(0.51248150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871530409940769 × 6371000     		du = 266.187820388488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51252328)-sin(0.51248150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871509922714039-0.871530409940769)×R²
    abs(-0.83122584--0.83127378)×2.04872267295375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04872267295375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04872267295375e-05×40589641000000     		ar = 70853.1424038126m²