Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48193 / 83007
↖ ↑ ↗
← S 43.195165°
W 47.633972°		 ← 222.66 m → S 43.195165°
W 47.631225°		 →
↑
222.67 m
↓
↑
222.67 m
↓
S 43.197167°
W 47.633972°		 ← 222.66 m →
49 579 m²		 S 43.197167°
W 47.631225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367687225341797 y=0.633296966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367687225341797 × 217)
    floor (0.367687225341797 × 131072)
    floor (48193.5)     		tx = 48193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633296966552734 × 217)
    floor (0.633296966552734 × 131072)
    floor (83007.5)     		ty = 83007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48193 / 83007 ti = "17/48193/83007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48193/83007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48193 ÷ 217
    48193 ÷ 131072     		x = 0.367683410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83007 ÷ 217
    83007 ÷ 131072     		y = 0.633293151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367683410644531 × 2 - 1) × π
    -0.264633178710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.83136965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633293151855469 × 2 - 1) × π
    -0.266586303710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.837505573262001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83136965} λ = -0.83136965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837505573262001))-π/2
    2×atan(0.432788737906238)-π/2
    2×0.40844923844477-π/2
    0.81689847688954-1.57079632675     		φ = -0.75389785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83136965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.633972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75389785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.195165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48193 KachelY 83007 -0.83136965 -0.75389785 -47.633972 -43.195165
    Oben rechts KachelX + 1 48194 KachelY 83007 -0.83132171 -0.75389785 -47.631225 -43.195165
    Unten links KachelX 48193 KachelY + 1 83008 -0.83136965 -0.75393280 -47.633972 -43.197167
    Unten rechts KachelX + 1 48194 KachelY + 1 83008 -0.83132171 -0.75393280 -47.631225 -43.197167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75389785--0.75393280) × R
    3.49499999999781e-05 × 6371000     		dl = 222.66644999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75389785--0.75393280) × R
    3.49499999999781e-05 × 6371000     		dr = 222.66644999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83136965--0.83132171) × cos(-0.75389785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729026391607651 × 6371000     		do = 222.663425136151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83136965--0.83132171) × cos(-0.75393280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729002468391097 × 6371000     		du = 222.656118370032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75389785)-sin(-0.75393280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729026391607651-0.729002468391097)×R²
    abs(-0.83132171--0.83136965)×2.39232165536452e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39232165536452e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39232165536452e-05×40589641000000     		ar = 49578.8609390456m²