Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48192 / 60350
↖ ↑ ↗
← N 14.099285°
W 47.636719°		 ← 296.22 m → N 14.099285°
W 47.633972°		 →
↑
296.19 m
↓
↑
296.19 m
↓
N 14.096621°
W 47.636719°		 ← 296.23 m →
87 739 m²		 N 14.096621°
W 47.633972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367679595947266 y=0.460437774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367679595947266 × 217)
    floor (0.367679595947266 × 131072)
    floor (48192.5)     		tx = 48192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460437774658203 × 217)
    floor (0.460437774658203 × 131072)
    floor (60350.5)     		ty = 60350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48192 / 60350 ti = "17/48192/60350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48192/60350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48192 ÷ 217
    48192 ÷ 131072     		x = 0.36767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60350 ÷ 217
    60350 ÷ 131072     		y = 0.460433959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83141759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460433959960938 × 2 - 1) × π
    0.079132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.248600761429611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83141759} λ = -0.83141759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248600761429611))-π/2
    2×atan(1.2822300151898)-π/2
    2×0.908437635434215-π/2
    1.81687527086843-1.57079632675     		φ = 0.24607894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83141759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24607894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.099285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48192 KachelY 60350 -0.83141759 0.24607894 -47.636719 14.099285
    Oben rechts KachelX + 1 48193 KachelY 60350 -0.83136965 0.24607894 -47.633972 14.099285
    Unten links KachelX 48192 KachelY + 1 60351 -0.83141759 0.24603245 -47.636719 14.096621
    Unten rechts KachelX + 1 48193 KachelY + 1 60351 -0.83136965 0.24603245 -47.633972 14.096621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24607894-0.24603245) × R
    4.64899999999824e-05 × 6371000     		dl = 296.187789999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24607894-0.24603245) × R
    4.64899999999824e-05 × 6371000     		dr = 296.187789999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83141759--0.83136965) × cos(0.24607894) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.969875056628378 × 6371000     		do = 296.224806878756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83141759--0.83136965) × cos(0.24603245) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.969886380679247 × 6371000     		du = 296.228265535372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24607894)-sin(0.24603245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969875056628378-0.969886380679247)×R²
    abs(-0.83136965--0.83141759)×1.13240508683443e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.13240508683443e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.13240508683443e-05×40589641000000     		ar = 87738.6831142765m²