Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48188 / 51068
↖ ↑ ↗
← S 70.370474°
E 84.704590°		 ← 205.21 m → S 70.370474°
E 84.710083°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
S 70.372319°
E 84.704590°		 ← 205.19 m →
42 109 m²		 S 70.372319°
E 84.710083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735298156738281 y=0.779243469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735298156738281 × 216)
    floor (0.735298156738281 × 65536)
    floor (48188.5)     		tx = 48188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779243469238281 × 216)
    floor (0.779243469238281 × 65536)
    floor (51068.5)     		ty = 51068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48188 / 51068 ti = "16/48188/51068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48188/51068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48188 ÷ 216
    48188 ÷ 65536     		x = 0.73529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51068 ÷ 216
    51068 ÷ 65536     		y = 0.77923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73529052734375 × 2 - 1) × π
    0.4705810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47837398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.5584716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75449052609406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47837398} λ = 1.47837398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75449052609406))-π/2
    2×atan(0.172995356463843)-π/2
    2×0.171299931005505-π/2
    0.34259986201101-1.57079632675     		φ = -1.22819646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47837398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.704590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22819646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.370474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48188 KachelY 51068 1.47837398 -1.22819646 84.704590 -70.370474
    Oben rechts KachelX + 1 48189 KachelY 51068 1.47846986 -1.22819646 84.710083 -70.370474
    Unten links KachelX 48188 KachelY + 1 51069 1.47837398 -1.22822867 84.704590 -70.372319
    Unten rechts KachelX + 1 48189 KachelY + 1 51069 1.47846986 -1.22822867 84.710083 -70.372319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22819646--1.22822867) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dl = 205.209910000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22819646--1.22822867) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dr = 205.209910000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47837398-1.47846986) × cos(-1.22819646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335936998859996 × 6371000     		do = 205.207612940252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47837398-1.47846986) × cos(-1.22822867) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335906660587335 × 6371000     		du = 205.189080761497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22819646)-sin(-1.22822867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335936998859996-0.335906660587335)×R²
    abs(1.47846986-1.47837398)×3.03382726614676e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.03382726614676e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.03382726614676e-05×40589641000000     		ar = 42108.734292772m²