Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48187 / 51140
↖ ↑ ↗
← S 70.502908°
E 84.699097°		 ← 203.86 m → S 70.502908°
E 84.704590°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
S 70.504742°
E 84.699097°		 ← 203.84 m →
41 559 m²		 S 70.504742°
E 84.704590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735282897949219 y=0.780342102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735282897949219 × 216)
    floor (0.735282897949219 × 65536)
    floor (48187.5)     		tx = 48187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780342102050781 × 216)
    floor (0.780342102050781 × 65536)
    floor (51140.5)     		ty = 51140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48187 / 51140 ti = "16/48187/51140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48187/51140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48187 ÷ 216
    48187 ÷ 65536     		x = 0.735275268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51140 ÷ 216
    51140 ÷ 65536     		y = 0.78033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735275268554688 × 2 - 1) × π
    0.470550537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.47827811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.5606689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76139343963934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47827811} λ = 1.47827811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76139343963934))-π/2
    2×atan(0.171805296640022)-π/2
    2×0.170144221163029-π/2
    0.340288442326057-1.57079632675     		φ = -1.23050788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47827811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.699097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23050788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.502908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48187 KachelY 51140 1.47827811 -1.23050788 84.699097 -70.502908
    Oben rechts KachelX + 1 48188 KachelY 51140 1.47837398 -1.23050788 84.704590 -70.502908
    Unten links KachelX 48187 KachelY + 1 51141 1.47827811 -1.23053988 84.699097 -70.504742
    Unten rechts KachelX + 1 48188 KachelY + 1 51141 1.47837398 -1.23053988 84.704590 -70.504742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23050788--1.23053988) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23050788--1.23053988) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47827811-1.47837398) × cos(-1.23050788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333759012825367 × 6371000     		do = 203.855923161003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47827811-1.47837398) × cos(-1.23053988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333728847584631 × 6371000     		du = 203.837498600882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23050788)-sin(-1.23053988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333759012825367-0.333728847584631)×R²
    abs(1.47837398-1.47827811)×3.01652407364017e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01652407364017e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01652407364017e-05×40589641000000     		ar = 41558.6366444619m²