Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48186 / 51139
↖ ↑ ↗
← S 70.501075°
E 84.693604°		 ← 203.87 m → S 70.501075°
E 84.699097°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
S 70.502908°
E 84.693604°		 ← 203.86 m →
41 562 m²		 S 70.502908°
E 84.699097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735267639160156 y=0.780326843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735267639160156 × 216)
    floor (0.735267639160156 × 65536)
    floor (48186.5)     		tx = 48186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780326843261719 × 216)
    floor (0.780326843261719 × 65536)
    floor (51139.5)     		ty = 51139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48186 / 51139 ti = "16/48186/51139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48186/51139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48186 ÷ 216
    48186 ÷ 65536     		x = 0.735260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51139 ÷ 216
    51139 ÷ 65536     		y = 0.780319213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735260009765625 × 2 - 1) × π
    0.47052001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.47818224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780319213867188 × 2 - 1) × π
    -0.560638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7612975658401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47818224} λ = 1.47818224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7612975658401))-π/2
    2×atan(0.171821769056164)-π/2
    2×0.170160221258122-π/2
    0.340320442516245-1.57079632675     		φ = -1.23047588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47818224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.693604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23047588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.501075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48186 KachelY 51139 1.47818224 -1.23047588 84.693604 -70.501075
    Oben rechts KachelX + 1 48187 KachelY 51139 1.47827811 -1.23047588 84.699097 -70.501075
    Unten links KachelX 48186 KachelY + 1 51140 1.47818224 -1.23050788 84.693604 -70.502908
    Unten rechts KachelX + 1 48187 KachelY + 1 51140 1.47827811 -1.23050788 84.699097 -70.502908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23047588--1.23050788) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23047588--1.23050788) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47818224-1.47827811) × cos(-1.23047588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333789177724334 × 6371000     		do = 203.874347512375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47818224-1.47827811) × cos(-1.23050788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333759012825367 × 6371000     		du = 203.855923161003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23047588)-sin(-1.23050788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333789177724334-0.333759012825367)×R²
    abs(1.47827811-1.47818224)×3.01648989671222e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01648989671222e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01648989671222e-05×40589641000000     		ar = 41562.3928749181m²