Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48185 / 51319
↖ ↑ ↗
← S 70.828444°
E 84.688110°		 ← 200.60 m → S 70.828444°
E 84.693604°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
S 70.830248°
E 84.688110°		 ← 200.58 m →
40 231 m²		 S 70.830248°
E 84.693604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735252380371094 y=0.783073425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735252380371094 × 216)
    floor (0.735252380371094 × 65536)
    floor (48185.5)     		tx = 48185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783073425292969 × 216)
    floor (0.783073425292969 × 65536)
    floor (51319.5)     		ty = 51319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48185 / 51319 ti = "16/48185/51319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48185/51319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48185 ÷ 216
    48185 ÷ 65536     		x = 0.735244750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51319 ÷ 216
    51319 ÷ 65536     		y = 0.783065795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735244750976562 × 2 - 1) × π
    0.470489501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.47808636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783065795898438 × 2 - 1) × π
    -0.566131591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77855484970332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47808636} λ = 1.47808636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77855484970332))-π/2
    2×atan(0.168882030918971)-π/2
    2×0.167303389545007-π/2
    0.334606779090014-1.57079632675     		φ = -1.23618955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47808636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.688110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23618955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.828444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48185 KachelY 51319 1.47808636 -1.23618955 84.688110 -70.828444
    Oben rechts KachelX + 1 48186 KachelY 51319 1.47818224 -1.23618955 84.693604 -70.828444
    Unten links KachelX 48185 KachelY + 1 51320 1.47808636 -1.23622103 84.688110 -70.830248
    Unten rechts KachelX + 1 48186 KachelY + 1 51320 1.47818224 -1.23622103 84.693604 -70.830248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23618955--1.23622103) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23618955--1.23622103) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47808636-1.47818224) × cos(-1.23618955) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328397780416705 × 6371000     		do = 200.602270196128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47808636-1.47818224) × cos(-1.23622103) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328368046150018 × 6371000     		du = 200.584106975315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23618955)-sin(-1.23622103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328397780416705-0.328368046150018)×R²
    abs(1.47818224-1.47808636)×2.97342666872313e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97342666872313e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97342666872313e-05×40589641000000     		ar = 40230.785360508m²