Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48184 / 60281
↖ ↑ ↗
← N 14.283016°
W 47.658691°		 ← 295.92 m → N 14.283016°
W 47.655945°		 →
↑
296 m
↓
↑
296 m
↓
N 14.280354°
W 47.658691°		 ← 295.93 m →
87 593 m²		 N 14.280354°
W 47.655945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367618560791016 y=0.459911346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367618560791016 × 217)
    floor (0.367618560791016 × 131072)
    floor (48184.5)     		tx = 48184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459911346435547 × 217)
    floor (0.459911346435547 × 131072)
    floor (60281.5)     		ty = 60281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48184 / 60281 ti = "17/48184/60281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48184/60281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48184 ÷ 217
    48184 ÷ 131072     		x = 0.36761474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60281 ÷ 217
    60281 ÷ 131072     		y = 0.459907531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.2647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83180108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459907531738281 × 2 - 1) × π
    0.0801849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.251908407503395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83180108} λ = -0.83180108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.251908407503395))-π/2
    2×atan(1.28647820013825)-π/2
    2×0.910040988355277-π/2
    1.82008197671055-1.57079632675     		φ = 0.24928565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83180108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.658691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24928565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.283016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48184 KachelY 60281 -0.83180108 0.24928565 -47.658691 14.283016
    Oben rechts KachelX + 1 48185 KachelY 60281 -0.83175315 0.24928565 -47.655945 14.283016
    Unten links KachelX 48184 KachelY + 1 60282 -0.83180108 0.24923919 -47.658691 14.280354
    Unten rechts KachelX + 1 48185 KachelY + 1 60282 -0.83175315 0.24923919 -47.655945 14.280354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24928565-0.24923919) × R
    4.64599999999982e-05 × 6371000     		dl = 295.996659999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24928565-0.24923919) × R
    4.64599999999982e-05 × 6371000     		dr = 295.996659999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83180108--0.83175315) × cos(0.24928565) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.969088907497889 × 6371000     		do = 295.922956043533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83180108--0.83175315) × cos(0.24923919) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.969100368680052 × 6371000     		du = 295.926455853385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24928565)-sin(0.24923919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969088907497889-0.969100368680052)×R²
    abs(-0.83175315--0.83180108)×1.14611821636634e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.14611821636634e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.14611821636634e-05×40589641000000     		ar = 87592.724588003m²