Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48182 / 81894
↖ ↑ ↗
← S 40.925965°
W 47.664185°		 ← 230.77 m → S 40.925965°
W 47.661438°		 →
↑
230.76 m
↓
↑
230.76 m
↓
S 40.928040°
W 47.664185°		 ← 230.76 m →
53 250 m²		 S 40.928040°
W 47.661438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367603302001953 y=0.624805450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367603302001953 × 217)
    floor (0.367603302001953 × 131072)
    floor (48182.5)     		tx = 48182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624805450439453 × 217)
    floor (0.624805450439453 × 131072)
    floor (81894.5)     		ty = 81894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48182 / 81894 ti = "17/48182/81894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48182/81894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48182 ÷ 217
    48182 ÷ 131072     		x = 0.367599487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81894 ÷ 217
    81894 ÷ 131072     		y = 0.624801635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367599487304688 × 2 - 1) × π
    -0.264801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83189696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624801635742188 × 2 - 1) × π
    -0.249603271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.784151803984879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83189696} λ = -0.83189696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784151803984879))-π/2
    2×atan(0.456506744820088)-π/2
    2×0.428251744530772-π/2
    0.856503489061544-1.57079632675     		φ = -0.71429284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83189696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.664185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71429284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.925965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48182 KachelY 81894 -0.83189696 -0.71429284 -47.664185 -40.925965
    Oben rechts KachelX + 1 48183 KachelY 81894 -0.83184902 -0.71429284 -47.661438 -40.925965
    Unten links KachelX 48182 KachelY + 1 81895 -0.83189696 -0.71432906 -47.664185 -40.928040
    Unten rechts KachelX + 1 48183 KachelY + 1 81895 -0.83184902 -0.71432906 -47.661438 -40.928040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71429284--0.71432906) × R
    3.62199999999202e-05 × 6371000     		dl = 230.757619999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71429284--0.71432906) × R
    3.62199999999202e-05 × 6371000     		dr = 230.757619999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83189696--0.83184902) × cos(-0.71429284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755556678783584 × 6371000     		do = 230.766457729267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83189696--0.83184902) × cos(-0.71432906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755532951171546 × 6371000     		du = 230.759210705802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71429284)-sin(-0.71432906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755556678783584-0.755532951171546)×R²
    abs(-0.83184902--0.83189696)×2.37276120383934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37276120383934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37276120383934e-05×40589641000000     		ar = 53250.2824141568m²