Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48182 / 51083
↖ ↑ ↗
← S 70.398135°
E 84.671631°		 ← 204.93 m → S 70.398135°
E 84.677124°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
S 70.399978°
E 84.671631°		 ← 204.91 m →
41 986 m²		 S 70.399978°
E 84.677124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735206604003906 y=0.779472351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735206604003906 × 216)
    floor (0.735206604003906 × 65536)
    floor (48182.5)     		tx = 48182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779472351074219 × 216)
    floor (0.779472351074219 × 65536)
    floor (51083.5)     		ty = 51083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48182 / 51083 ti = "16/48182/51083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48182/51083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48182 ÷ 216
    48182 ÷ 65536     		x = 0.735198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51083 ÷ 216
    51083 ÷ 65536     		y = 0.779464721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735198974609375 × 2 - 1) × π
    0.47039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47779874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779464721679688 × 2 - 1) × π
    -0.558929443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75592863308266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47779874} λ = 1.47779874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75592863308266))-π/2
    2×atan(0.172746749437314)-π/2
    2×0.171058537869342-π/2
    0.342117075738685-1.57079632675     		φ = -1.22867925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47779874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.671631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22867925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.398135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48182 KachelY 51083 1.47779874 -1.22867925 84.671631 -70.398135
    Oben rechts KachelX + 1 48183 KachelY 51083 1.47789462 -1.22867925 84.677124 -70.398135
    Unten links KachelX 48182 KachelY + 1 51084 1.47779874 -1.22871141 84.671631 -70.399978
    Unten rechts KachelX + 1 48183 KachelY + 1 51084 1.47789462 -1.22871141 84.677124 -70.399978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22867925--1.22871141) × R
    3.21600000001698e-05 × 6371000     		dl = 204.891360001082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22867925--1.22871141) × R
    3.21600000001698e-05 × 6371000     		dr = 204.891360001082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47779874-1.47789462) × cos(-1.22867925) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335482227328901 × 6371000     		do = 204.929815077421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47779874-1.47789462) × cos(-1.22871141) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335451930938833 × 6371000     		du = 204.91130848271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22867925)-sin(-1.22871141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335482227328901-0.335451930938833)×R²
    abs(1.47789462-1.47779874)×3.0296390067186e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0296390067186e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0296390067186e-05×40589641000000     		ar = 41986.452599274m²