Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48180 / 51084
↖ ↑ ↗
← S 70.399978°
E 84.660644°		 ← 204.91 m → S 70.399978°
E 84.666138°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
S 70.401821°
E 84.660644°		 ← 204.89 m →
41 983 m²		 S 70.401821°
E 84.666138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735176086425781 y=0.779487609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735176086425781 × 216)
    floor (0.735176086425781 × 65536)
    floor (48180.5)     		tx = 48180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779487609863281 × 216)
    floor (0.779487609863281 × 65536)
    floor (51084.5)     		ty = 51084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48180 / 51084 ti = "16/48180/51084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48180/51084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48180 ÷ 216
    48180 ÷ 65536     		x = 0.73516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51084 ÷ 216
    51084 ÷ 65536     		y = 0.77947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73516845703125 × 2 - 1) × π
    0.4703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.47760699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.5589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7560245068819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47760699} λ = 1.47760699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7560245068819))-π/2
    2×atan(0.172730188344039)-π/2
    2×0.171042456617758-π/2
    0.342084913235516-1.57079632675     		φ = -1.22871141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47760699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.660644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22871141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.399978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48180 KachelY 51084 1.47760699 -1.22871141 84.660644 -70.399978
    Oben rechts KachelX + 1 48181 KachelY 51084 1.47770287 -1.22871141 84.666138 -70.399978
    Unten links KachelX 48180 KachelY + 1 51085 1.47760699 -1.22874357 84.660644 -70.401821
    Unten rechts KachelX + 1 48181 KachelY + 1 51085 1.47770287 -1.22874357 84.666138 -70.401821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22871141--1.22874357) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dl = 204.891359999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22871141--1.22874357) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dr = 204.891359999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47760699-1.47770287) × cos(-1.22871141) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335451930938833 × 6371000     		do = 204.91130848271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47760699-1.47770287) × cos(-1.22874357) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.33542163420182 × 6371000     		du = 204.892801676066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22871141)-sin(-1.22874357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335451930938833-0.33542163420182)×R²
    abs(1.47770287-1.47760699)×3.02967370133245e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02967370133245e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02967370133245e-05×40589641000000     		ar = 41982.6607352763m²