Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48178 / 60529
↖ ↑ ↗
← N 13.621964°
W 47.675171°		 ← 296.77 m → N 13.621964°
W 47.672425°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
N 13.619295°
W 47.675171°		 ← 296.78 m →
88 071 m²		 N 13.619295°
W 47.672425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367572784423828 y=0.461803436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367572784423828 × 217)
    floor (0.367572784423828 × 131072)
    floor (48178.5)     		tx = 48178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461803436279297 × 217)
    floor (0.461803436279297 × 131072)
    floor (60529.5)     		ty = 60529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48178 / 60529 ti = "17/48178/60529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48178/60529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48178 ÷ 217
    48178 ÷ 131072     		x = 0.367568969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60529 ÷ 217
    60529 ÷ 131072     		y = 0.461799621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367568969726562 × 2 - 1) × π
    -0.264862060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83208870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461799621582031 × 2 - 1) × π
    0.0764007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.240020056397621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83208870} λ = -0.83208870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240020056397621))-π/2
    2×atan(1.27127464725553)-π/2
    2×0.904272225726673-π/2
    1.80854445145335-1.57079632675     		φ = 0.23774812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83208870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.675171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23774812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.621964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48178 KachelY 60529 -0.83208870 0.23774812 -47.675171 13.621964
    Oben rechts KachelX + 1 48179 KachelY 60529 -0.83204077 0.23774812 -47.672425 13.621964
    Unten links KachelX 48178 KachelY + 1 60530 -0.83208870 0.23770154 -47.675171 13.619295
    Unten rechts KachelX + 1 48179 KachelY + 1 60530 -0.83204077 0.23770154 -47.672425 13.619295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23774812-0.23770154) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dl = 296.761180000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23774812-0.23770154) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dr = 296.761180000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83208870--0.83204077) × cos(0.23774812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.971870789381349 × 6371000     		do = 296.772437143373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83208870--0.83204077) × cos(0.23770154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.971881758601227 × 6371000     		du = 296.775786726622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23774812)-sin(0.23770154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971870789381349-0.971881758601227)×R²
    abs(-0.83204077--0.83208870)×1.09692198785316e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.09692198785316e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.09692198785316e-05×40589641000000     		ar = 88071.0356672607m²