Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48176 / 54384
↖ ↑ ↗
← N 29.267233°
W 47.680664°		 ← 266.44 m → N 29.267233°
W 47.677917°		 →
↑
266.44 m
↓
↑
266.44 m
↓
N 29.264837°
W 47.680664°		 ← 266.44 m →
70 989 m²		 N 29.264837°
W 47.677917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367557525634766 y=0.414920806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367557525634766 × 217)
    floor (0.367557525634766 × 131072)
    floor (48176.5)     		tx = 48176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414920806884766 × 217)
    floor (0.414920806884766 × 131072)
    floor (54384.5)     		ty = 54384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48176 / 54384 ti = "17/48176/54384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48176/54384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48176 ÷ 217
    48176 ÷ 131072     		x = 0.3675537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54384 ÷ 217
    54384 ÷ 131072     		y = 0.4149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83218458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4149169921875 × 2 - 1) × π
    0.170166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.534592304562866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83218458} λ = -0.83218458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534592304562866))-π/2
    2×atan(1.70675226527966)-π/2
    2×1.04080295161361-π/2
    2.08160590322722-1.57079632675     		φ = 0.51080958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83218458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51080958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.267233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48176 KachelY 54384 -0.83218458 0.51080958 -47.680664 29.267233
    Oben rechts KachelX + 1 48177 KachelY 54384 -0.83213664 0.51080958 -47.677917 29.267233
    Unten links KachelX 48176 KachelY + 1 54385 -0.83218458 0.51076776 -47.680664 29.264837
    Unten rechts KachelX + 1 48177 KachelY + 1 54385 -0.83213664 0.51076776 -47.677917 29.264837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51080958-0.51076776) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dl = 266.43521999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51080958-0.51076776) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dr = 266.43521999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83218458--0.83213664) × cos(0.51080958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872349003146403 × 6371000     		do = 266.437839824078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83218458--0.83213664) × cos(0.51076776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87236944749753 × 6371000     		du = 266.444084055149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51080958)-sin(0.51076776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872349003146403-0.87236944749753)×R²
    abs(-0.83213664--0.83218458)×2.04443511268027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04443511268027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04443511268027e-05×40589641000000     		ar = 70989.2563215944m²