Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48171 / 54355
↖ ↑ ↗
← N 29.336693°
W 47.694397°		 ← 266.20 m → N 29.336693°
W 47.691651°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
N 29.334298°
W 47.694397°		 ← 266.21 m →
70 875 m²		 N 29.334298°
W 47.691651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367519378662109 y=0.414699554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367519378662109 × 217)
    floor (0.367519378662109 × 131072)
    floor (48171.5)     		tx = 48171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414699554443359 × 217)
    floor (0.414699554443359 × 131072)
    floor (54355.5)     		ty = 54355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48171 / 54355 ti = "17/48171/54355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48171/54355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48171 ÷ 217
    48171 ÷ 131072     		x = 0.367515563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54355 ÷ 217
    54355 ÷ 131072     		y = 0.414695739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367515563964844 × 2 - 1) × π
    -0.264968872070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.83242426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414695739746094 × 2 - 1) × π
    0.170608520507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.535982474651848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83242426} λ = -0.83242426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535982474651848))-π/2
    2×atan(1.70912659120422)-π/2
    2×1.04140910220911-π/2
    2.08281820441822-1.57079632675     		φ = 0.51202188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83242426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.694397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51202188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.336693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48171 KachelY 54355 -0.83242426 0.51202188 -47.694397 29.336693
    Oben rechts KachelX + 1 48172 KachelY 54355 -0.83237633 0.51202188 -47.691651 29.336693
    Unten links KachelX 48171 KachelY + 1 54356 -0.83242426 0.51198009 -47.694397 29.334298
    Unten rechts KachelX + 1 48172 KachelY + 1 54356 -0.83237633 0.51198009 -47.691651 29.334298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51202188-0.51198009) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dl = 266.244090000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51202188-0.51198009) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dr = 266.244090000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83242426--0.83237633) × cos(0.51202188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.87175568861771 × 6371000     		do = 266.201086740515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83242426--0.83237633) × cos(0.51198009) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871776162483876 × 6371000     		du = 266.207338681849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51202188)-sin(0.51198009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87175568861771-0.871776162483876)×R²
    abs(-0.83237633--0.83242426)×2.04738661658821e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04738661658821e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04738661658821e-05×40589641000000     		ar = 70875.2983777984m²