Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48167 / 54393
↖ ↑ ↗
← N 29.245667°
W 47.705383°		 ← 266.49 m → N 29.245667°
W 47.702637°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
N 29.243270°
W 47.705383°		 ← 266.50 m →
71 021 m²		 N 29.243270°
W 47.702637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367488861083984 y=0.414989471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367488861083984 × 217)
    floor (0.367488861083984 × 131072)
    floor (48167.5)     		tx = 48167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414989471435547 × 217)
    floor (0.414989471435547 × 131072)
    floor (54393.5)     		ty = 54393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48167 / 54393 ti = "17/48167/54393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48167/54393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48167 ÷ 217
    48167 ÷ 131072     		x = 0.367485046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54393 ÷ 217
    54393 ÷ 131072     		y = 0.414985656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367485046386719 × 2 - 1) × π
    -0.265029907226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.83261601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414985656738281 × 2 - 1) × π
    0.170028686523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.534160872466286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83261601} λ = -0.83261601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534160872466286))-π/2
    2×atan(1.70601607639069)-π/2
    2×1.04061475209115-π/2
    2.08122950418231-1.57079632675     		φ = 0.51043318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83261601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.705383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51043318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.245667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48167 KachelY 54393 -0.83261601 0.51043318 -47.705383 29.245667
    Oben rechts KachelX + 1 48168 KachelY 54393 -0.83256807 0.51043318 -47.702637 29.245667
    Unten links KachelX 48167 KachelY + 1 54394 -0.83261601 0.51039135 -47.705383 29.243270
    Unten rechts KachelX + 1 48168 KachelY + 1 54394 -0.83256807 0.51039135 -47.702637 29.243270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51043318-0.51039135) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51043318-0.51039135) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83261601--0.83256807) × cos(0.51043318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872532957149528 × 6371000     		do = 266.494024111608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83261601--0.83256807) × cos(0.51039135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872553392652546 × 6371000     		du = 266.50026564024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51043318)-sin(0.51039135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872532957149528-0.872553392652546)×R²
    abs(-0.83256807--0.83261601)×2.04355030181125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04355030181125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04355030181125e-05×40589641000000     		ar = 71021.2039678766m²