Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48166 / 54360
↖ ↑ ↗
← N 29.324720°
W 47.708130°		 ← 266.29 m → N 29.324720°
W 47.705383°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 29.322325°
W 47.708130°		 ← 266.29 m →
70 915 m²		 N 29.322325°
W 47.705383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367481231689453 y=0.414737701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367481231689453 × 217)
    floor (0.367481231689453 × 131072)
    floor (48166.5)     		tx = 48166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414737701416016 × 217)
    floor (0.414737701416016 × 131072)
    floor (54360.5)     		ty = 54360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48166 / 54360 ti = "17/48166/54360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48166/54360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48166 ÷ 217
    48166 ÷ 131072     		x = 0.367477416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54360 ÷ 217
    54360 ÷ 131072     		y = 0.41473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367477416992188 × 2 - 1) × π
    -0.265045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83266395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41473388671875 × 2 - 1) × π
    0.1705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535742790153748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83266395} λ = -0.83266395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535742790153748))-π/2
    2×atan(1.70871698914461)-π/2
    2×1.04130462291294-π/2
    2.08260924582588-1.57079632675     		φ = 0.51181292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83266395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.708130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51181292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.324720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48166 KachelY 54360 -0.83266395 0.51181292 -47.708130 29.324720
    Oben rechts KachelX + 1 48167 KachelY 54360 -0.83261601 0.51181292 -47.705383 29.324720
    Unten links KachelX 48166 KachelY + 1 54361 -0.83266395 0.51177112 -47.708130 29.322325
    Unten rechts KachelX + 1 48167 KachelY + 1 54361 -0.83261601 0.51177112 -47.705383 29.322325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51181292-0.51177112) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51181292-0.51177112) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83266395--0.83261601) × cos(0.51181292) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.871858047621034 × 6371000     		do = 266.287889370052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83266395--0.83261601) × cos(0.51177112) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.871878518771333 × 6371000     		du = 266.29414178628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51181292)-sin(0.51177112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871858047621034-0.871878518771333)×R²
    abs(-0.83261601--0.83266395)×2.04711502987953e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.04711502987953e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.04711502987953e-05×40589641000000     		ar = 70915.3745287297m²