Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48164 / 60390
↖ ↑ ↗
← N 13.992707°
W 47.713623°		 ← 296.36 m → N 13.992707°
W 47.710876°		 →
↑
296.38 m
↓
↑
296.38 m
↓
N 13.990041°
W 47.713623°		 ← 296.37 m →
87 836 m²		 N 13.990041°
W 47.710876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367465972900391 y=0.460742950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367465972900391 × 217)
    floor (0.367465972900391 × 131072)
    floor (48164.5)     		tx = 48164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460742950439453 × 217)
    floor (0.460742950439453 × 131072)
    floor (60390.5)     		ty = 60390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48164 / 60390 ti = "17/48164/60390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48164/60390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48164 ÷ 217
    48164 ÷ 131072     		x = 0.367462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60390 ÷ 217
    60390 ÷ 131072     		y = 0.460739135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.26507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83275982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460739135742188 × 2 - 1) × π
    0.078521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.246683285444809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83275982} λ = -0.83275982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246683285444809))-π/2
    2×atan(1.2797737256194)-π/2
    2×0.907507562703828-π/2
    1.81501512540766-1.57079632675     		φ = 0.24421880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83275982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.713623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24421880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.992707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48164 KachelY 60390 -0.83275982 0.24421880 -47.713623 13.992707
    Oben rechts KachelX + 1 48165 KachelY 60390 -0.83271188 0.24421880 -47.710876 13.992707
    Unten links KachelX 48164 KachelY + 1 60391 -0.83275982 0.24417228 -47.713623 13.990041
    Unten rechts KachelX + 1 48165 KachelY + 1 60391 -0.83271188 0.24417228 -47.710876 13.990041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24421880-0.24417228) × R
    4.65200000000221e-05 × 6371000     		dl = 296.378920000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24421880-0.24417228) × R
    4.65200000000221e-05 × 6371000     		dr = 296.378920000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83275982--0.83271188) × cos(0.24421880) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.970326513929781 × 6371000     		do = 296.362693559116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83275982--0.83271188) × cos(0.24417228) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.970337761340448 × 6371000     		du = 296.366128807842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24421880)-sin(0.24417228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970326513929781-0.970337761340448)×R²
    abs(-0.83271188--0.83275982)×1.12474106669369e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.12474106669369e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.12474106669369e-05×40589641000000     		ar = 87836.1641288853m²