Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48164 / 54388
↖ ↑ ↗
← N 29.257649°
W 47.713623°		 ← 266.46 m → N 29.257649°
W 47.710876°		 →
↑
266.44 m
↓
↑
266.44 m
↓
N 29.255253°
W 47.713623°		 ← 266.47 m →
70 996 m²		 N 29.255253°
W 47.710876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367465972900391 y=0.414951324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367465972900391 × 217)
    floor (0.367465972900391 × 131072)
    floor (48164.5)     		tx = 48164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414951324462891 × 217)
    floor (0.414951324462891 × 131072)
    floor (54388.5)     		ty = 54388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48164 / 54388 ti = "17/48164/54388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48164/54388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48164 ÷ 217
    48164 ÷ 131072     		x = 0.367462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54388 ÷ 217
    54388 ÷ 131072     		y = 0.414947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.26507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83275982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414947509765625 × 2 - 1) × π
    0.17010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.534400556964386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83275982} λ = -0.83275982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534400556964386))-π/2
    2×atan(1.70642503100579)-π/2
    2×1.04071931228043-π/2
    2.08143862456085-1.57079632675     		φ = 0.51064230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83275982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.713623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51064230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.257649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48164 KachelY 54388 -0.83275982 0.51064230 -47.713623 29.257649
    Oben rechts KachelX + 1 48165 KachelY 54388 -0.83271188 0.51064230 -47.710876 29.257649
    Unten links KachelX 48164 KachelY + 1 54389 -0.83275982 0.51060048 -47.713623 29.255253
    Unten rechts KachelX + 1 48165 KachelY + 1 54389 -0.83271188 0.51060048 -47.710876 29.255253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51064230-0.51060048) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dl = 266.43521999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51064230-0.51060048) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dr = 266.43521999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83275982--0.83271188) × cos(0.51064230) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.872430771396581 × 6371000     		do = 266.462813953014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83275982--0.83271188) × cos(0.51060048) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.872451209644702 × 6371000     		du = 266.469056320071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51064230)-sin(0.51060048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872430771396581-0.872451209644702)×R²
    abs(-0.83271188--0.83275982)×2.04382481213683e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.04382481213683e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.04382481213683e-05×40589641000000     		ar = 70995.9100609726m²