Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48160 / 60386
↖ ↑ ↗
← N 14.003366°
W 47.724610°		 ← 296.35 m → N 14.003366°
W 47.721863°		 →
↑
296.32 m
↓
↑
296.32 m
↓
N 14.000702°
W 47.724610°		 ← 296.35 m →
87 813 m²		 N 14.000702°
W 47.721863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367435455322266 y=0.460712432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367435455322266 × 217)
    floor (0.367435455322266 × 131072)
    floor (48160.5)     		tx = 48160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460712432861328 × 217)
    floor (0.460712432861328 × 131072)
    floor (60386.5)     		ty = 60386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48160 / 60386 ti = "17/48160/60386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48160/60386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48160 ÷ 217
    48160 ÷ 131072     		x = 0.367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60386 ÷ 217
    60386 ÷ 131072     		y = 0.460708618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83295157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460708618164062 × 2 - 1) × π
    0.078582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.246875033043289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83295157} λ = -0.83295157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246875033043289))-π/2
    2×atan(1.2800191426862)-π/2
    2×0.907600589436143-π/2
    1.81520117887229-1.57079632675     		φ = 0.24440485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83295157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.724610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24440485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.003366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48160 KachelY 60386 -0.83295157 0.24440485 -47.724610 14.003366
    Oben rechts KachelX + 1 48161 KachelY 60386 -0.83290363 0.24440485 -47.721863 14.003366
    Unten links KachelX 48160 KachelY + 1 60387 -0.83295157 0.24435834 -47.724610 14.000702
    Unten rechts KachelX + 1 48161 KachelY + 1 60387 -0.83290363 0.24435834 -47.721863 14.000702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24440485-0.24435834) × R
    4.65099999999996e-05 × 6371000     		dl = 296.315209999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24440485-0.24435834) × R
    4.65099999999996e-05 × 6371000     		dr = 296.315209999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83295157--0.83290363) × cos(0.24440485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970281510547787 × 6371000     		do = 296.348948367181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83295157--0.83290363) × cos(0.24435834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970292763937191 × 6371000     		du = 296.352385441968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24440485)-sin(0.24435834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970281510547787-0.970292763937191)×R²
    abs(-0.83290363--0.83295157)×1.12533894037758e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12533894037758e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12533894037758e-05×40589641000000     		ar = 87813.2101133007m²