Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48159 / 60383
↖ ↑ ↗
← N 14.011361°
W 47.727356°		 ← 296.28 m → N 14.011361°
W 47.724610°		 →
↑
296.32 m
↓
↑
296.32 m
↓
N 14.008697°
W 47.727356°		 ← 296.28 m →
87 792 m²		 N 14.008697°
W 47.724610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367427825927734 y=0.460689544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367427825927734 × 217)
    floor (0.367427825927734 × 131072)
    floor (48159.5)     		tx = 48159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460689544677734 × 217)
    floor (0.460689544677734 × 131072)
    floor (60383.5)     		ty = 60383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48159 / 60383 ti = "17/48159/60383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48159/60383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48159 ÷ 217
    48159 ÷ 131072     		x = 0.367424011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60383 ÷ 217
    60383 ÷ 131072     		y = 0.460685729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367424011230469 × 2 - 1) × π
    -0.265151977539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.83299950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460685729980469 × 2 - 1) × π
    0.0786285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.247018843742149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83299950} λ = -0.83299950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.247018843742149))-π/2
    2×atan(1.28020323637066)-π/2
    2×0.907670356653015-π/2
    1.81534071330603-1.57079632675     		φ = 0.24454439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83299950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.727356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24454439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.011361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48159 KachelY 60383 -0.83299950 0.24454439 -47.727356 14.011361
    Oben rechts KachelX + 1 48160 KachelY 60383 -0.83295157 0.24454439 -47.724610 14.011361
    Unten links KachelX 48159 KachelY + 1 60384 -0.83299950 0.24449788 -47.727356 14.008697
    Unten rechts KachelX + 1 48160 KachelY + 1 60384 -0.83295157 0.24449788 -47.724610 14.008697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24454439-0.24449788) × R
    4.65099999999996e-05 × 6371000     		dl = 296.315209999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24454439-0.24449788) × R
    4.65099999999996e-05 × 6371000     		dr = 296.315209999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83299950--0.83295157) × cos(0.24454439) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970247735365169 × 6371000     		do = 296.276818074192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83299950--0.83295157) × cos(0.24449788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970258995051632 × 6371000     		du = 296.280256354908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24454439)-sin(0.24449788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970247735365169-0.970258995051632)×R²
    abs(-0.83295157--0.83299950)×1.12596864629833e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12596864629833e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12596864629833e-05×40589641000000     		ar = 87791.8369890262m²